Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，若△ABC的外接圓⊙O₁交y軸不同于點(diǎn)C的點(diǎn)D，且CD=AB，求tan∠ACB的值；
（3）如圖2，設(shè)⊙O₁的弦DE∥x軸，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使△OCF與△CDE相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，可得函數(shù)對稱軸方程，又因?yàn)楹瘮?shù)最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，所以可求的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）作出輔助線，過點(diǎn)O₁作O₁P⊥x軸于P，連接O₁A，構(gòu)造有一角∠AO₁P與∠ACB相等的直角三角形，并求出相應(yīng)邊長，根據(jù)正切函數(shù)定義解答；
（3）①由（2）中結(jié)論，直線CF₁過C（0，5），O（3，3），可求出CF₁的解析式，易得F₁的坐標(biāo)；
②根據(jù)對稱性，由①可以求出x軸上另一點(diǎn)F₂（-

15

2

，0）．
③④△OCF₃與△DEC時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OF₃的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，
所以二次函數(shù)的對稱軸為x=

1+5

2

=3，
因?yàn)槠渥畹忘c(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，
故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-4）．
設(shè)解析式為
y=a（x-3）²-4；
將A（1，0）代入解析式得a（1-3）²-4=0，
即a=1，
解析式為y=（x-3）²-4，
化為一般式得拋物線的函數(shù)解析式為：y=x²-6x+5；（本小題3分）

（2）tan∠ACB=

2

3

．
過點(diǎn)O₁作O₁P⊥x軸于P，連接O₁A，
由拋物線與圓的對稱性可知O₁P所在的直線是拋物線的對稱軸．
故OP=3，AP=OP-OA=2，由CD=AB得：CD=AB=4
過點(diǎn)O₁作O₁Q⊥y軸于Q，由垂徑定理得：DQ=CQ=2，O₁P=OQ=OC-CQ=3，
故tan∠ACB=tan∠AO₁P=

AP

O1P

=

2

3

；（本小題3分）

（3）①設(shè)CE交x軸于F₁，
因?yàn)镈E∥AB，所以∠DEC=∠OFC，∠COF₁=∠CDE，
所以△OCF₁∽△DCE．
直線CF₁過C（0，5），O（3，3），
得其解析式為y=-

2

3

x+5；
當(dāng)y=0時(shí)，得x=

15

2

，所以F₁（

15

2

，0）．
②△OCF₂∽△DCE時(shí)，根據(jù)對稱性，由①可以求出x軸上另一點(diǎn)F₂（-

15

2

，0）．
③△OCF₃∽△DEC時(shí)，

OF3

DC

=

CF3

CE

，
即

OF3

4

=

52+OF32

2 13

，
兩邊平方得OF₃=

10

3

．
存在點(diǎn)F，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為：
F₁（

15

2

，0）、F₂（-

15

2

，0）、F₃（

10

3

，0）、F₄（-

10

3

，0）．
（適當(dāng)寫出過程，每求出一個(gè)點(diǎn)得1分）

點(diǎn)評：此題綜合考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和圓周角與圓心角的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，還結(jié)合相似三角形的性質(zhì)考查了點(diǎn)的存在性問題，有一定的難度．