Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，把∠A沿著EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC上點(diǎn)D處，且使ED⊥BC．
（1）猜測(cè)AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：AE= BE．理由如下：

Rt△ABC中，∠A=60°，得∠B=30°．

則在Rt△BDE中有DE= BE．

由對(duì)折可知AE=DE，則AE= BE

（2）證明：由∠C=90°，ED⊥BC得DE∥AC，

∴∠DFC=∠EDF=∠A=60°，

∴DF∥AE．

∴四邊形AEDF是平行四邊形．

又AE=ED，

∴平行四邊形AEDF是菱形

【解析】（1）在Rt△ABC中，由直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余得∠B=30°，則在Rt△ADE中有DE=BEsin30°= BE，又由對(duì)折可知AE=DE，則AE= BE；（2）易得DE∥AC，所以∠DFC=∠EDF=∠A=60°，所以DF∥AE． 由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得，四邊形AEDF是平行四邊形．
又AE=ED，所以鄰邊相等的平行四邊形AEDF是菱形．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的判定方法的相關(guān)知識(shí)，掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線(xiàn)，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線(xiàn)若垂直，順理成章為菱形，以及對(duì)翻折變換（折疊問(wèn)題）的理解，了解折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．