Question

為喜迎“五一”佳節(jié)，某食品公司推出一種新禮盒，每盒成本20元，在“五一”節(jié)前20天進(jìn)行銷售后發(fā)現(xiàn)，該禮盒在這20天內(nèi)的日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第…天
日銷售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在這20天內(nèi)，前10天每天的銷售價(jià)格y₁（元/盒）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₁=

1

4

x+25（1≤x≤10，且x為整數(shù)），后10天每天的銷售價(jià)格y₂（元/盒）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₂=-

1

2

x+40（11≤x≤20，且x為整數(shù)），
（1）直接寫出日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)求出這20天中哪天的日銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)是多少？
（3）“五一”當(dāng)天，銷售價(jià)格（元/盒）比第20天的銷售價(jià)格降低a元（a＞0），而日銷售量比第20天提高了a盒，日銷售額比前20天中的最大日銷售利潤(rùn)多284元，求a的值．
注：銷售利潤(rùn)=（售價(jià)-成本價(jià)）×銷售量．

Answer 1

（1）設(shè)日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：

78=k+b 76=2k+b

，
k=-2，b=80，
即日銷售量p（盒）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=-2x+80．
          
（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
當(dāng)1≤x≤10時(shí)，w=（-2x+80）（

1

4

x+25-20）=-

1

2

（x-10）²+450；
當(dāng)11≤x≤20 時(shí)，w=（-2x+80）（-

1

2

x+40-20）=（x-40）²，
∵w=-

1

2

（x-10）²+450（1≤x≤10）的對(duì)稱軸為x=10，
∴當(dāng)x=10時(shí)，w取得最大值，最大值是450；
∵w=（x-40）²（11≤x≤20）的對(duì)稱軸為x=40，且當(dāng)11≤x≤20時(shí)w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=11時(shí)，w取得最大值，最大值是841；
綜合上述：當(dāng)x=11時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值是841元，
即第11天的利潤(rùn)最大，最大值是841元．

（3）當(dāng)x=20時(shí)，銷售價(jià)格y₂=-

1

2

x+40=30，
日銷量p=-2x+80=40，
則（30-a）（40+a）=841+284，
整理得：a²+10a-75=0
解得：a=5或a=-15（不合題意，舍去），
即a=5．