Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D為BC邊上的動點（D不與B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于點E．
（1）∠BAD與∠CDE的大小關(guān)系為

 

．請證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長；
（4）是否存在x，使△DCE的面積是△ABD面積的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC易知△ABC是等腰直角三角形，即∠B=∠C=45°，已知∠ADE=45°，由三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義可得∠BAD、∠CDE都等于180°-45°-∠ADB，由此可證得兩角相等．
（2）由（1）的等角，聯(lián)立∠B=∠C=45°，可證得△DCE∽△ABD，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可表示出CE的長，進而由AE=AC-CE求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）由于D與B、C不重合，顯然∠ADE=∠AED=45°不符合題意，即AD≠AE，所以此題分兩種情況討論：
①AD=DE，此時（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的長，進而可得CE、AE的值；
②AE=DE，此時∠DAE=45°，即AD平分∠BAC，由于△BAC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC，同理可證得DE垂直平分AC，即AE為AC長的一半，由此得解．
（4）若△DCE的面積是△ABD面積的2倍，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可知：CE=

2

BD，然后表示出AE的長，代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得x的值，若x=0，則說明D、B重合，顯然不存在符合條件的x，若x的值符合（2）的自變量取值范圍，那么x的值即為所求．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）相等；（1分）
證明如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．如圖1，
∵∠1+∠B+∠ADB=180°，
∴∠1+∠ADB=180°-∠B=135°．
又∵∠2+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠2+∠ADB=180°-∠ADE（2分）
=180°-45°=135°，
即∠1+∠ADB=∠2+∠ADB，
∴∠1=∠2．（3分）

（2）由（1）知∠1=∠2，又∵∠B=∠C=45°，
∴△DCE∽△ABD．（4分）
若BD=x，則CD=BC-BD=2

2

-x，
由△DCE∽△ABD得

CE

BD

=

CD

AB

，即

CE

x

=

2 2 -x

2

，
CE=

1

2

（2

2

-x）x，
=-

1

2

x²+

2

x，（5分）
y=AE=AC-CE=2-（-

1

2

x²+

2

x）
∴y=

1

2

x²-

2

x+2，（6分）
其中0＜x＜2

2

．（7分）

（3）解：∵點D不能與B點重合，∴AD=AE不能成立（8分）
（或：∵∠ADE=45°，若AD=AE，
則∠AED=ADE=45°，從而∠DAE=90°，
即B與D重合，這與已知條件矛盾）．
①當AE、DE為腰，即AE=DE時（如圖2），
∠EAD=∠EDA=45°，此時，AD平分∠BAC，
∴D為BC邊的中點（“三線合一”性質(zhì)），
且E也為AC邊的中點，∴AE=1；（9分）
②當AD、DE為腰，即AD=DE時（如圖3），
由（1）△ABD∽△DCE知，此時AD與DE為對應(yīng)邊，
∴△ABD≌△DCE，DC=AB=2，
BD=BC-CD=2

2

-2，AE=AC-EC
=2-BD=2-（2

2

-2）=4-2

2

；（10分）
綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，
AE的長為1或4-2

2

；（11分）


（4）不存在．（12分）
原因如下：∵△DCE∽△ABD，若△DCE的面積是△ABD面積的2倍，則

S△CDE

S△ABD

=2，
從而

CE

BD

=

2

，CE=

2

BD，-

1

2

x²+

2

x=

2

x，
解得x=0，即BD=0，就是說D點與B點重合，（13分）
這與已知條件矛盾，
∴不存在x，使△DCE的面積是△ABD面積的2倍．（14分）

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，同時還涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．