Question

如圖，已知?ABCD的周長為6，對角線AC與BD相交于點O，△AOB的周長比△BOC的周長小1．
（1）求這個平行四邊形各邊的長．
（2）將射線OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，交AD于E，當旋轉(zhuǎn)角度為多少度時，CA平分∠BCE．說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，AO=CO，
∵AB+BC+CD+AD=6，
∴AB+BC=3，
又∵△AOB的周長比△BOC的周長小1，
∴BC-AB=1，
∴AB=DC=1，BC=AD=2．

（2）當旋轉(zhuǎn)角度為90°時，CA平分∠BCD．
證明：∵OE⊥AC，且AO=CO，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ECA，即CA平分∠BCD．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對邊分別相等和對角線互相平分的性質(zhì)，知AB=CD，BC=AD，AO=CO．因△AOB的周長比△BOC的周長小1，所以BC-AB=1．再結(jié)合平行四邊形ABCD的周長為6，可得AB+BC=3，組成方程組求解，可得這個平行四邊形各邊的長．
（2）要證CA平分∠BCE，需證∠ACB=∠ECA．要證∠ACB=∠ECA，先根據(jù)題意，證明∠ACB=∠EAC，∠EAC=∠ECA，由等量代換得證∠ACB=∠ECA．
點評：本題運用平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求平行四邊形各邊的長，注意運用角平分線的定義．