Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2、如圖3情形．請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中正方形改為矩形（如圖6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）①延長BG交DE于O，根據(jù)正方形性質(zhì)推出BC=CD=AB，CG=CE，∠BCD=∠ECD=90°，證△BCG≌△DCE，推出BG=DE，∠CBG=∠CDE，求出∠CDE+∠DGO=90°，求出∠DOG=90°即可；②求出∠BCG=∠DCE，證△BCG≌△DCE，推出BG=DE，∠CBG=∠CDE，求出∠CDE+∠DGO=90°，求出∠DOG=90°即可；
（2）求出

BC

CD

=

CG

CE

=

b

a

，加上∠BCG=∠DCE，證△BCG∽△DCE，得出

BG

DE

=

BC

CD

=

b

a

，∠CBG=∠CDE，即可判定BG=DE不成立；推出∠EDC+∠DHO=90°，求出∠DOH=90°即可．

解答：（1）①BG=DE，BG⊥DE，
理由是：

延長BG交DE于O，
∵四邊形ABCD、CGFE是正方形，
∴BC=CD=AB，CG=CE，∠BCD=∠ECD=90°，
∵在△BCG和△DCE中

BC=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
又∵∠DGO=∠BGC，
∴∠EDC+∠DGO=90°，
∴∠DOG=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE，
即BG=DE，BG⊥DE；

②仍成立，
證明：∵四邊形ABCD、CGFE是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
∵在△BCG和△DCE中

BC=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
又∵∠DGO=∠BGC，
∴∠EDC+∠DGO=90°，
∴∠DOG=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE，
即BG=DE，BG⊥DE；

（2）解：BG=DE不成立，BG⊥DE成立，
理由是：∵四邊形ABCD和四邊形GCEF都是矩形，
∴AB=CD=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，
∴

BC

CD

=

CG

CE

=

b

a

，
∵∠BCG=∠DCE（已證），
∴△BCG∽△DCE，
∴

BG

DE

=

BC

CD

=

b

a

，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BHC=90°，
又∵∠DHO=∠BHC，
∴∠EDC+∠DHO=90°，
∴∠DOH=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE，
則BG=DE不成立，BG⊥DE成立．

點評：本題考查的知識點是正方形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，綜合性比較強．