Question

（2013•常熟市模擬）如圖，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，頂點D，C分別在射線AM、BN上運動，點E是AB上的動點，在運動過程中始終保持DE⊥CE，且AD+DE=AB（各動點都不與A，B重合）．經(jīng)過C、D、E三點作圓．請?zhí)剿饕韵?個問題：
（1）當AB=8時，若動點E恰好是過C、D、E三點的圓與AB的切點，求CD長？
（2）當AB=a時，說明△BEC的周長等于2a．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)圓心為O，連結(jié)OE，根據(jù)OE⊥AB，AB⊥BC，AD∥BC，得出OE∥AD∥BC，AE=BE=4，則OE是梯形ABCD的中位線，設(shè)AD=x，則DE=8-x，得出4²+x²=（8-x）²，求出AD=3，根據(jù)AB⊥BC，AD∥BC，得出∠AED+∠ADE=90°，根據(jù)∠AED+∠BEC=90°，得出∠AED=∠BEC，則△ADE∽△BEC，得出

AD

BE

=

AE

BC

，最后根據(jù)OE=

1

2

（3+

16

3

）=

25

6

，即可得出CD=2OE=

25

3

．
（2）設(shè)AD=x，AE=m，則DE=a-x，在Rt△ADE中，得出a²-m²=2ax，再根據(jù)△ADE∽△BEC，得出

C△BEC

m+a

=

a-m

x

，則C_△BEC=

a2-m2

x

=2a．

解答：解：（1）∵DE⊥CE，
∴CD是過C、D、E三點作圓得直徑，
設(shè)圓心為O，并連結(jié)OE，
∵點E恰好是過C、D、E三點的圓與AB的切點，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴OE∥AD∥BC，
∵OC=OD，
∴AE=BE=4，
∴OE是梯形ABCD的中位線，
設(shè)AD=x，則DE=8-x，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，即AD=3，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BEC，
∵△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴BC=

16

3

，
∴OE=

1

2

（3+

16

3

）=

25

6

，
∴CD=2OE=

25

3

．

（2）設(shè)AD=x，AE=m，則DE=a-x，
在Rt△ADE中，（a-x）²=m²+x²，
∴a²-m²=2ax，
又∵△ADE∽△BEC，
∴

C△BEC

m+a

=

a-m

x

，
∴C_△BEC=

a2-m2

x

=2a，
即△BEC的周長等于2a．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及整體代入的數(shù)學思想．