Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P，且⊙O₁過(guò)點(diǎn)O₂，PB是⊙O₂的直徑，A為⊙O₂上的點(diǎn)，連接AB，過(guò)O₁作O₁C⊥BA于C，連接CO₂．已知PA=

4

3

，PB=4．
（1）求證：BA是⊙O₁的切線；
（2）求∠BCO₂的正切值．

Answer 1

（1）證明：∵PB是⊙O₂的直徑，A為⊙O₂上的點(diǎn)，
∴∠PAB=90°．
又∵O₁C⊥BA，
∴△PAB∽△O₁CB．
∵PA=

4

3

，PB=4，
∴0₁C=1．
∴O₁C是⊙O₁的半徑，
∵O₁C⊥BA于C，
∴BA是⊙O₁的切線．

（2）BC=

01B2-01C2

=

8

，
連接PC；
∵∠B=∠B，∠BCO₂=∠BPC，
∴△BPC∽△BCO₂，
∴O₂C：CP=BO₂：BC=2：

8

=tanBPC=tanBCO₂，
（在Rt△PCO₂中，tanBPC=O₂C：CP）
∴tanBCO₂=

2

2

．