Question

把Rt△ABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，∠ABC=90°，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），AO=2OB，且∠OAB=∠BAC．
（1）求過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)；
（3）在AC上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D．
∵A（0，4），AO=2BO，
∴OB=2，
∴B（2，0），
∵∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴=，
∴==2，
∵∠OBA+∠CBD=90°，∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴==，
∴BD=2，DC=1
∴C（4，1），
∵拋物線過點(diǎn)A（0，4），
∴設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx+4，
又∵拋物線過B（2，0），C（4，1），
∴解得：a=，b=-，
∴拋物線解析式為：y=x²-x+4；

（2）由（1）中求出的拋物線的解析式可知，拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=-=，
作A關(guān)于直線x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′（，4），
作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，則M′（0，-2），
連接A′M′交x軸于點(diǎn)E，交直線x=于點(diǎn)F，
則此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的路線最短，
由對(duì)稱性得：ME+FE+FA=A′M′，
又∵A′M′==，
∵直線A′M′解析式為：y=x-2，
∴E（，0），F(xiàn)（，1）；

（3）∵A（0，4），B（2，0），C（4，1），
∴設(shè)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b（k≠0），則，
∴過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=-x+4，
設(shè)Q（x，-x+4），
①若QB=QC時(shí)，則（x-2）²+（-x+4）²=（x-4）²+（-x+4-1）²，解得x=2，
即Q₁（2，）；
同理，②若QC=BC時(shí)，Q₂（）；
③若QB=BC時(shí)，Q₃（）．
分析：（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，由A（0，4），AO=2BO，可知OB=2，B（2，0），再根據(jù)∠ABC=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAC可得出△ABC∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)可知==2，由相似三角形的判定定理可得出△AOB∽△BDC，故可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式即可；
（2）求出（1）中拋物線的對(duì)稱軸方程，作A關(guān)于直線x=的對(duì)稱點(diǎn)A′，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接A′M′交x軸于點(diǎn)E，交直線x=于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的路線最短，由對(duì)稱性得：ME+FE+FA=A′M′，再根據(jù)勾股定理求出A′M′的長(zhǎng)，得出直線直線A′M′的解析式，故可得出EF兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先用待定系數(shù)法求出過A、C兩點(diǎn)的直線解析式，設(shè)Q（x，-x+4），再分QB=QC；QC=BC；QB=BC三種情況利用兩點(diǎn)間的距離公式求出x的值，進(jìn)而得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的對(duì)稱軸公式和待定系數(shù)法求拋物線的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式，在解答（3）時(shí)要注意分類討論．