Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F
（1）若CE=12，CF=5，求OC的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到何處且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F
∴∠ECF=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∴CO是△ECF上的中線，
∴CO=EF=6.5；

（2）點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)且∠ACB=90°，
理由：∵O為AC中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴?AECF為矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且△ABC是以∠ACB為直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．
分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出OE=OF，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；
（2）利用平行四邊形及矩形的性質(zhì)和判定證明四邊形AECF是正方形．
點(diǎn)評：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質(zhì)與判定，涉及面較廣，在解答此類題目時(shí)要注意角的運(yùn)用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀，需同學(xué)們熟練掌握．