Question

小李用換元法的數(shù)學(xué)思想求方程：（x²+1）²+4（x²+1）-5=0的解，他將（x²+1）看作一個整體設(shè)x²+1=y（y＞0），那么原方程可化為y²+4y-5=0，解得y₁=1，y₂=-5（不合題意，舍去）．當(dāng)y=1時，x²+1=1，∴x²=0，∴x=0．故原方程的解為x=0，請利用這樣的數(shù)學(xué)思想解答下面問題：
在△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，且（a²+b²）（a²+b²+1）=12，求斜邊c的長．

Answer 1

分析：先設(shè)a ²+b²=x（x＞0），則（a ²+b² ）（a ²+b²+1）=12可化為x²+x-12=0，求出x的解，得出a ²+b²的值為3，根據(jù)∠C=90°，得出a ²+b ²=c²，即可求出斜邊c的長．

解答：解：設(shè)a ²+b²=x（x＞0），則（a ²+b² ）（a ²+b²+1）=12化為：x（x+1）=12，即x²+x-12=0，
解得：x ₁=3，x ₂=-4＜0 （不合題意，舍去），
∴a ²+b²的值為3，
∵∠C=90°，
∴a ²+b ²=c²，
∴c²=3，
∴c=

3

答：斜邊c的長為

3

．

點評：此題考查了換元法解一元二次方程，關(guān)鍵是把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換，再進行求解．