Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，求它的解析式；
（3）過點(diǎn)D作DF∥AB交BC于E，若EF=

1

2

，判斷點(diǎn)F是否在（2）中的拋物線上，說明理由．

Answer 1

分析：（1）理由等邊三角形的性質(zhì)可得B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）；
（2）設(shè)y=ax²+bx+c，然后把B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）代入解析式得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程，解方程即可．
（3）由DF∥AB，而D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，得到DE為△ABC的中位線，得DE=2，則DF=

5

2

，則F（

5

2

，

3

），然后把F點(diǎn)的坐標(biāo)代入（2）的解析式，滿足解析式說明F在（2）中的拋物線上．

解答：解：（1）∵∠A=60°，OA=1，OD=

3

OA=

3

，所以有D（0，

3

）；
由△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以C（1，2

3

），B（3，0）．
所以B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）；

（2）設(shè)y=ax²+bx+c，
把B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）分別代入解析式得，
9a+3b+c=0①，
a+b+c=2

3

②，
c=

3

③，
解由①②③組成的方程組得，a=-

2 3

3

，b=

5 3

3

，c=

3

，
所以拋物線的解析式為：y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

．

（3）點(diǎn)F在（2）中的拋物線上．理由如下：
∵DF∥AB，而D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=2，則DF=

5

2

，
∴F（

5

2

，

3

）．
令x=

5

2

，則y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

=

3

．
所以點(diǎn)F在（2）中的拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，通過解方程組確定a，b，c的值．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)．