Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當t=2時，AP=

 

，點Q到AC的距離是

 

；
（2）在點P從C向A運動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由；
（4）當DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距離；
（2）作QF⊥AC于點F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數(shù)解析式；
（3）當DE∥QB時，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對應(yīng)比例關(guān)系求t；
（4）①第一種情況點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C、連接QC，作QG⊥BC于點G，由PC²=QC²解得t；
②第二種情況，點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，由圖列出相互關(guān)系，求解t．

解答：解：（1）做QF⊥AC，
∵AC=3，點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，
∴當t=2時，AP=3-2=1；
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴

AQ

AB

=

QF

BC

，
∴

2

5

=

QF

4

，
解得：QF=

8

5

；
故答案為：1，

8

5

；

（2）作QF⊥AC于點F，
如圖1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t2+

6

5

t；

（3）能．
①當由△APQ∽△ABC，DE∥QB時，如圖2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得t=

9

8

；
②如圖3，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得t=

15

8

，
綜上：在點E從B向C運動的過程中，當t=

15

8

或

9

8

時，四邊形QBED能成為直角梯形；

（4）t=

5

2

或t=

45

14

．
注：①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C．
連接QC，作QG⊥BC于點G，如圖4．
∵sinB=

AC

AB

=

3

5

=

QG

BQ

，
∴QG=

3

5

（5-t），
同理BG=

4

5

（5-t），
∴CG=4-

4

5

（5-t），
∴PC=t，QC²=QG²+CG²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²．
∵CD是PQ的中垂線，
∴PC=QC
則PC²=QC²，
得t²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²，
解得t=

5

2

；
②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖5．
PC=6-t，可知由PC²=QC²可知，
QC²=QG²+CG²=（6-t）²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²，
即t=

45

14

．

點評：本題考查了相似三角形的判定定理，線段比的有關(guān)知識，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識以及實際應(yīng)用相結(jié)合，同時考生要注意巧妙利用輔助線的幫助解答，難度較大．