Question

（2013•寧德質(zhì)檢）已知直線(xiàn)y=kx+3-k，無(wú)論k取哪一個(gè)實(shí)數(shù)，所得的直線(xiàn)總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，如圖，當(dāng)k=

3

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時(shí)，所得的直線(xiàn)分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于直線(xiàn)y=kx+3-k，當(dāng)k=1時(shí)，所得的直線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)P，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）設(shè)k≠

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時(shí)，直線(xiàn)y=kx+3-k與（2）中拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，求當(dāng) k為何值時(shí)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)D，使得四邊形ABED是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）把k=

3

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代入y=kx+3-k，即可得到直線(xiàn)的解析式，再分別令x=0和y=0即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，則直線(xiàn)的解析式為y=x+2，聯(lián)立兩直線(xiàn)的解析式可求出P的坐標(biāo)，把A（-1，0）代入即可求出拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（3）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)E作EF⊥y軸于F，若四邊形ABED是平行四邊形，則△EFB≌△ACD，得EF=AC=2，所以x=2，把x=2代入拋物線(xiàn)的解析式可求出y的值，又因?yàn)橹本�(xiàn)y=kx+3-k過(guò)點(diǎn)E，進(jìn)而求出k的值．

解答：解：（1）當(dāng)k=

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2

時(shí)，直線(xiàn)y=

3

2

x+

3

2

，
把x=0代入y=

3

2

x+

3

2

得y=

3

2

，
∴B（0，

3

2

），
把y=0代入y=

3

2

x+

3

2

得x=-1，
∴A（-1，0）；
（2）當(dāng)k=1，直線(xiàn)y=x+2，
由

y=x+2 y= 3 2 x+ 3 2

，解得

x=1 y=3

，
∴P（1，3）
∵拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（1，3），
∴b=3，
把A（-1，0）代入拋物線(xiàn)y=a（x-1）²+3解得a=-

3

4

，
∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y=-

3

4

（x-1）²+3；
（3）把P（1，3）代入y=kx+3-k，左邊=右邊，
∴直線(xiàn)y=kx+3-k經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為P（1，3），
∵P在直線(xiàn)AB上，由題意可知E顯然不與P重合，如圖：由（2）得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)E作EF⊥y軸于F，
若四邊形ABED是平行四邊形，則△EFB≌△ACD，
得EF=AC=2，
∴x=2，
將x=2代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式得y=

9

4

，
∴E（2，

9

4

），
又∵直線(xiàn)y=kx+3-k過(guò)點(diǎn)E，
∴

9

4

=2k+3-k，
解得k=-

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4

，
答：當(dāng)k=-

3

4

時(shí)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)D，使得四邊形ABED是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解二元一次方程組，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)．