Question

（2013•福州質(zhì)檢）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，2），連接AC、BC．
（1）求拋物線解析式；
（2）BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CPB=∠CAB，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）中，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）如圖1，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F．可得△BMF∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理可求直線DE上兩點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線DE的解析式；
（3）①如圖3，設(shè)直線DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)G（

5

2

，2），以G為圓心，GA長(zhǎng)為半徑畫圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)P₁，以N為圓心，NB長(zhǎng)為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對(duì)稱，⊙N交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P₂，從而確定P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，得：

a+b+c=1 16a+4b+c=0，c=2

              
解得：

a= 1 2 b=- 5 2 ，c=2

．                        
故這個(gè)拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2．     

（2）解法一：
如圖1，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于F．
∴△BMF∽△BCO，
∴

MF

CO

=

BF

BO

=

BM

BC

=

1

2

．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，
∴CN=BN，
設(shè)ON=x，則CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=

3

2

，
∴N（

3

2

，0）．     
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，依題意，得：

2k+b=1 3 2 k+b=0

，
解得：

k=2 b=-3

．
∴直線DE的解析式為y=2x-3．              
解法二：
如圖2，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸交DE于F．
∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，
∴CN=BN，CM=BM．
設(shè)ON=x，則CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=

3

2

，
∴N（

3

2

，0）．     
∴BN=4-

3

2

=

5

2

．
∵CF∥x軸，
∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．
∴F（

5

2

，2）．                             
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，依題意，得：

5 2 k+b=2 3 2 k+b=0

，
解得：

k=2 b=-3

．
∴直線DE的解析式為y=2x-3．   

（3）由（1）得拋物線解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2，
∴它的對(duì)稱軸為直線x=

5

2

．
①如圖3，設(shè)直線DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，則點(diǎn)G（

5

2

，2），
以G為圓心，GA長(zhǎng)為半徑畫圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)P₁，
則∠CP₁B=∠CAB．                 
GA=

5

2

，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（

5

2

，-

1

2

）．             
②如圖4，由（2）得：BN=

5

2

，
∴BN=BG，
∴G、N關(guān)于直線BC對(duì)稱．           
∴以N為圓心，NB長(zhǎng)為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對(duì)稱．    
⊙N交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P₂，則∠CP₂B=∠CAB．               
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，則NH=

5

2

-

3

2

=1．
∴HP₂=

21

2

，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（

5

2

，

21

2

）．
綜上所述，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

2

，-

1

2

）或（

5

2

，

21

2

）時(shí)，∠CPB=∠CAB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．