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        1. (2013•福州質(zhì)檢)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于C(0,2),連接AC、BC.
          (1)求拋物線解析式;
          (2)BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點(diǎn),求直線DE的解析式;
          (3)若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,且∠CPB=∠CAB,求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).
          分析:(1)將A(1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)中,列方程組求a、b、c的值即可;
          (2)如圖1,設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M,交x軸于N,連接CN,過點(diǎn)M作MF⊥x軸于F.可得△BMF∽△BCO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理可求直線DE上兩點(diǎn)M、N的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線DE的解析式;
          (3)①如圖3,設(shè)直線DE交拋物線對稱軸于點(diǎn)G,則點(diǎn)G(
          5
          2
          ,2),以G為圓心,GA長為半徑畫圓交對稱軸于點(diǎn)P1,以N為圓心,NB長為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對稱,⊙N交拋物線對稱軸于點(diǎn)P2,從而確定P點(diǎn)坐標(biāo).
          解答:解:(1)由題意,得:
          a+b+c=1
          16a+4b+c=0,c=2
                        
          解得:
          a=
          1
          2
          b=-
          5
          2
          ,c=2
          .                        
          故這個(gè)拋物線的解析式為y=
          1
          2
          x2-
          5
          2
          x+2.     

          (2)解法一:
          如圖1,設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M,交x軸于N,連接CN,過點(diǎn)M作MF⊥x軸于F.
          ∴△BMF∽△BCO,
          MF
          CO
          =
          BF
          BO
          =
          BM
          BC
          =
          1
          2

          ∵B(4,0),C(0,2),
          ∴CO=2,BO=4,
          ∴MF=1,BF=2,
          ∴M(2,1)…(5分)
          ∵M(jìn)N是BC的垂直平分線,
          ∴CN=BN,
          設(shè)ON=x,則CN=BN=4-x,
          在Rt△OCN中,CN2=OC2+ON2,
          ∴(4-x)2=22+x2,
          解得:x=
          3
          2

          ∴N(
          3
          2
          ,0).     
          設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b,依題意,得:
          2k+b=1
          3
          2
          k+b=0
          ,
          解得:
          k=2
          b=-3

          ∴直線DE的解析式為y=2x-3.              
          解法二:
          如圖2,設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M,交x軸于N,連接CN,過點(diǎn)C作CF∥x軸交DE于F.
          ∵M(jìn)N是BC的垂直平分線,
          ∴CN=BN,CM=BM.
          設(shè)ON=x,則CN=BN=4-x,
          在Rt△OCN中,CN2=OC2+ON2,
          ∴(4-x)2=22+x2,
          解得:x=
          3
          2
          ,
          ∴N(
          3
          2
          ,0).     
          ∴BN=4-
          3
          2
          =
          5
          2

          ∵CF∥x軸,
          ∴∠CFM=∠BNM.
          ∵∠CMF=∠BMN,
          ∴△CMF≌△BMN.
          ∴CF=BN.
          ∴F(
          5
          2
          ,2).                             
          設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b,依題意,得:
          5
          2
          k+b=2
          3
          2
          k+b=0
          ,
          解得:
          k=2
          b=-3

          ∴直線DE的解析式為y=2x-3.   

          (3)由(1)得拋物線解析式為y=
          1
          2
          x2-
          5
          2
          x+2,
          ∴它的對稱軸為直線x=
          5
          2

          ①如圖3,設(shè)直線DE交拋物線對稱軸于點(diǎn)G,則點(diǎn)G(
          5
          2
          ,2),
          以G為圓心,GA長為半徑畫圓交對稱軸于點(diǎn)P1,
          則∠CP1B=∠CAB.                 
          GA=
          5
          2

          ∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(
          5
          2
          ,-
          1
          2
          ).             
          ②如圖4,由(2)得:BN=
          5
          2
          ,
          ∴BN=BG,
          ∴G、N關(guān)于直線BC對稱.           
          ∴以N為圓心,NB長為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對稱.    
          ⊙N交拋物線對稱軸于點(diǎn)P2,則∠CP2B=∠CAB.               
          設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)H,則NH=
          5
          2
          -
          3
          2
          =1.
          ∴HP2=
          21
          2
          ,
          ∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(
          5
          2
          21
          2
          ).
          綜上所述,當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
          5
          2
          ,-
          1
          2
          )或(
          5
          2
          21
          2
          )時(shí),∠CPB=∠CAB.
          點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是由已知條件由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,以及相似三角形的性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2013•福州質(zhì)檢)一元二次方程x2+4=0根的情況是( 。

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          x -2-
          3
          -2+
          3
          2
          -1
          2
          +1
          y -2+
          3
          -2-
          3
          2
          +1
          2
          -1
          如果這個(gè)函數(shù)圖象是軸對稱圖形,那么對稱軸可能是( 。

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          1.5
          1.5

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•福州質(zhì)檢)如圖,由6個(gè)形狀、大小完全相同的小矩形組成矩形網(wǎng)格.小矩形的頂點(diǎn)稱為這個(gè)矩形網(wǎng)格的格點(diǎn).已知小矩形較短邊長為1,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.
          (1)格點(diǎn)E、F在BC邊上,
          BE
          AF
          的值是
          1
          2
          1
          2
          ;
          (2)按要求畫圖:找出格點(diǎn)D,連接CD,使∠ACD=90°;
          (3)在(2)的條件下,連接AD,求tan∠BAD的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•福州質(zhì)檢)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,DE=2,線段DE在AC邊上運(yùn)動(dòng)(端點(diǎn)D從點(diǎn)A開始),速度為每秒1個(gè)單位,當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.F為DE中點(diǎn),MF⊥DE交AB于點(diǎn)M,MN∥AC交BC于點(diǎn)N,連接DM、ME、EN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
          (1)求證:四邊形MFCN是矩形;
          (2)設(shè)四邊形DENM的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式;當(dāng)S取最大值時(shí),求t的值;
          (3)在運(yùn)動(dòng)過程中,若以E、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△DEM相似,求t的值.

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