【題目】已知：
為
的直徑，
,
為
上一動(dòng)點(diǎn)（不與
、
重合）.
（1）如圖1，若
平分
，連接
交于點(diǎn)
.①求證：
；②若
，求
的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
得
，連接
.求證：為的切線.
【答案】（1）①見(jiàn)解析，②2；（2）見(jiàn)解析
【解析】
（1）①先根據(jù)圓周角定理得出
，再得出
，再根據(jù)角平分線的定義得出
，最后根據(jù)三角形外角定理即可求證；②取
中點(diǎn)
，連接
，可得是中位線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得
，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出
，最后再根據(jù)中位線的性質(zhì)得出
；
（2）
上截取
，連接
，由題意先得出
，再得出
，然后由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得
、
，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得出
，然后證的
，最后得出
即可證明.
解：（1）①證明：
為
的直徑，
.
，
，
.
.
平分
，
.
，
，
.
；
②解法一：如圖，取中點(diǎn)，連接，
為
的中點(diǎn)，
，
.
.
，
，
.
.
；
解法二：如圖，作
，垂足為
，
平分，
，
.
.
.
.
.
.
.
在
中，
.
；
解法三：如圖，作
，垂足為
，
設(shè)
平分，，
.
∴
∴
，即
∴
解得：
∴
（2）證明（法一）：如圖，在上截取，連接.
，
.
.
.
.
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，.
，
.
.（
沒(méi)寫(xiě)不扣分）
.
.
.
為的切線．
證法二：如圖，延長(zhǎng)
到
，使
.
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，.
.
，
.
.（沒(méi)寫(xiě)不扣分）
，
.
，
.
.
.
.
.
.
.
為的切線．
證法三：作
交
延長(zhǎng)線于點(diǎn)
.（余下略）
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，
∴
，
∴.
∵
∴
∴
、
∴
∴
∴
∴
∵為的直徑，
∴
∴
∴
∴
.
∴
為的切線．
鴻圖圖書(shū)寒假作業(yè)假期作業(yè)吉林大學(xué)出版社系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為
個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，
的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
以點(diǎn)
為位似中心，在
軸的左側(cè)將放大得到
，使得的面積是面積的
倍，在網(wǎng)格中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出點(diǎn)
所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)
的坐標(biāo).
在網(wǎng)格中，畫(huà)出繞原點(diǎn)
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
的
.
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B在第一象限，BC＝BA，∠ABC＝90°，反比例函數(shù)y＝
．（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，若OB＝2
，則k的值為_____．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，正方形ABCD的過(guò)長(zhǎng)是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點(diǎn)O，并分別與邊CD、BC交于點(diǎn)F、E，連接AE．
（1）求證：AQ⊥DP；
（2）求證：AO2＝ODOP；
（3）當(dāng)BP＝1時(shí)，求QO的長(zhǎng)度．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在東西方向的海岸線l上有長(zhǎng)為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測(cè)得輪船M在它的北偏東45°方向上；同一時(shí)刻，在A點(diǎn)正東方向距離100米的C處測(cè)得輪船M在北偏東22°方向上．
（1）求輪船M到海岸線l的距離；（結(jié)果精確到0.01米）
（2）如果輪船M沿著南偏東30°的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，
≈1.732．）
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】綜合與實(shí)踐—探究正方形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題
問(wèn)題情境:已知正方形
中，點(diǎn)
在
邊上，且
.將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形
（點(diǎn)
，
，
，
分別是點(diǎn)
，
，
，
的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.同學(xué)們通過(guò)小組合作，提出下列數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解答.
特例分析:（1）“樂(lè)思”小組提出問(wèn)題:如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在正方形的對(duì)角線
上時(shí)，設(shè)線段
與
交于點(diǎn)
.求證:四邊形
是矩形；
（2）“善學(xué)”小組提出問(wèn)題:如圖2，當(dāng)線段
經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，猜想線段
與
滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
深入探究:（3）請(qǐng)從下面，兩題中任選一題作答.我選擇題.
A.在圖2中連接
和
，請(qǐng)直接寫(xiě)出
的值.
B.“好問(wèn)”小組提出問(wèn)題:如圖3，在正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)
.連接
，并過(guò)點(diǎn)作
于點(diǎn)
.請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出
的值.
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】光污染是繼廢氣、廢水、廢渣和噪聲等污染之后的一種新的環(huán)境污染源，主要包括白亮污染、人工白晝污染和彩光污染，如圖，小明家正對(duì)面的高樓外墻上安裝著一幅巨型廣告宣傳牌AB，小明想要測(cè)量窗外的廣告宣傳牌AB的高度，他發(fā)現(xiàn)晚上家里熄燈后對(duì)面樓上的廣告宣傳牌從A處發(fā)出的光恰好從窗戶的最高點(diǎn)C處射進(jìn)房間落在地板上F處，從窗戶的最低點(diǎn)D處射進(jìn)房間向落在地板上E處（B、O、E、F在同一直線E），小明測(cè)得窗戶距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并測(cè)得OE＝1m，OF＝3m．請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，求廣告宣傳牌AB的高度．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，△ABC中
（1）請(qǐng)你利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在平面內(nèi)畫(huà)出滿足PB2＋PC2＝BC2的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形，并在所作圖形上用尺規(guī)確定到邊AC、BC距離相等的點(diǎn)P．（作圖必須保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，連接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的長(zhǎng)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線
的頂點(diǎn)為
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
與
軸交于點(diǎn)
，連接
，
，
.
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)
為該拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)
之間的一動(dòng)點(diǎn).
①若
，求點(diǎn)的坐標(biāo).
②如圖②，過(guò)點(diǎn)作
軸的垂線，垂足為
，連接
并延長(zhǎng)，交
于點(diǎn)
，連接
延長(zhǎng)交
于點(diǎn)
.試說(shuō)明
為定值.
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