Question

（2013•宜興市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C的圓心坐標(biāo)為（-2，-2），半徑為

2

．函數(shù)y=-x+2圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，求∠POA的度數(shù)；
（4）當(dāng)直線PO與⊙C相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E、F，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，令PO=t，MO=s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出t的取值范圍；設(shè)點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，試寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，并直接寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法得出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而得出∠COG=45°，∠AOD=45°，即可得出答案；
（2）利用①當(dāng)OP=OA時(shí)，②當(dāng)OP=PA時(shí)，③當(dāng)AP=AO時(shí)分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用切線的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出∠POA的度數(shù)；
（4）根據(jù)已知得出△COM∽△POD，進(jìn)而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s與t的關(guān)系，進(jìn)而求出t的取值范圍，再利用點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)Q為圓心（Q點(diǎn)為OC與⊙C的交點(diǎn)），

2

為半徑的一段圓弧，得出答案即可．

解答：解：（1）延長(zhǎng)CO交AB于D，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵函數(shù)y=-x+2圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴x=0時(shí)，y=2，y=0時(shí)，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°．
∵C（-2，-2），
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB；

（2）要使△POA為等腰三角形．
①當(dāng)OP=OA時(shí)，P的坐標(biāo)為（0，2），
②當(dāng)OP=PA時(shí)，由∠OAB=45°，所以點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
③當(dāng)AP=AO時(shí)，則AP=2，
過(guò)點(diǎn)作PH⊥OA交OA于點(diǎn)H，
在Rt△APH中，則PH=AH=

2

，
∴OH=2-

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-

2

，

2

）；

（3）如圖2，當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為K，連接CK，
則CK⊥OK．由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-2），
可得：CO=2

2

．
∵sin∠COK=

CK

CO

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一個(gè)值為45°-30°=15°；

（4）∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以

CO

PO

=

MO

DO

，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，
∴st=4．
但PO過(guò)圓心C時(shí)，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，
即MO•PO=4，也滿足st=4．
∴s=

4

t

，
∵OP最小值為

2

，當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，∠POD=30°，
∴PO=

2

cos30°

=

2 6

3

，
∴t的取值范圍是：

2

≤t＜

2 6

3

，
由（3）可得，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是以點(diǎn)Q為圓心（Q點(diǎn)為OC與⊙C的交點(diǎn)），

2

為半徑的一段圓弧，
 可得⊙C和⊙Q是兩個(gè)等圓，可得∠GQK=120°
 弧GQK為實(shí)際運(yùn)動(dòng)路徑，弧長(zhǎng)=

2 2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理和弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合分類討論思想得出是解題關(guān)鍵．