Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過(guò)A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過(guò)D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）求證：FD=FG．
（3）若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S_△DGF=

1

2

S_△ADG，證△BCG∽△ADG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）如右圖所示，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線．

（2）證明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．

（3）∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S_△ADG=2S_△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴

S△BCG

S△ADG

=(

CG

DG

)2，
∵△ADG的面積為9，且DG=3，GC=4，
∴S_△BCG=16．
答：△BCG的面積是16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，切線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．