Question

（2012•南寧）已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B為直線x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B（-1，y）．
（1）如圖1，若點(diǎn)C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，y是否有最大值？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）時(shí)，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1．線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最��？求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，先證明△BCD∽△CAE，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）先運(yùn)用配方法將y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

寫(xiě)成頂點(diǎn)式，再根據(jù)自變量x的取值范圍即可求解；
（3）欲使四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小，由于線段AB與EF是定長(zhǎng)，所以只需BE+AF最�。疄榇�，先確定點(diǎn)E、F的位置：過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則點(diǎn)E、F的位置確定．再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E．
在△BCD與△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

（-1＜x＜3）；

（2）y有最大值．理由如下：
∵y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

=-

1

4

（x²-2x）+

3

4

=-

1

4

（x-1）²+1，
又∵-1＜x＜3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值1；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時(shí)四邊形ABEF的周長(zhǎng)最�。�
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 -k+b=-1

，
解得

k= 5 3 b= 2 3

．
∴直線A′B′的解析式為y=

5

3

x+

2

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，

5

3

x+

2

3

=0，解得x=-

2

5

．
故線段EF平移至如圖2所示位置時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

2

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．（1）中通過(guò)作輔助線證明△BCD∽△CAE是解題的關(guān)鍵，（3）中根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定點(diǎn)E、F的位置是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．