Question

（2012•泰順縣模擬）正△ABC的邊長為1，點P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中P、Q、R、S為垂足，若SP=

1

5

，則AP的長是

7

45

或

23

45

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖1，設AS=x，由于△ABC是等邊三角形故可得出∠ARS=30°，故AR=2x，RC=1-2x，在Rt△QCR中，QC=2RC=2-4x，故BQ=4x-1，在Rt△BPQ中，BP=2BQ=8x-2，由于AB=1，故AS+PS+BP=1，故可得出x的值，進而得出結論；同理，如圖2，當點P在x軸的上方時，同上即可得出AP的長．

解答：解：如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
設AS=x，
在Rt△ASR中，
∵RS⊥AB，
∴∠ASR=90°，
∴∠ARS=30°，
∴AR=2AS=2x，
∴RC=1-AR=1-2x，
在Rt△QCR中，
∵QC=2RC=2-4x，
∴BQ=4x-1，
在Rt△BPQ中，BP=2BQ=8x-2，
∵AB=1，
∴AS+PS+BP=1，即x+

1

5

+8x-2=1，解得x=

14

45

，
∴AP=AS+PS=

14

45

+

1

5

=

23

45

；
如圖2，當點P在點S的上方時，
同上可得，AS+BP-PS=1，即x+8x-2-

1

5

=1，解得x=

16

45

，
∴AP=AS-PS=

16

45

-

1

5

=

7

45

．
故答案為：

7

45

或

23

45

．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質，含30度角的之間三角形，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，根據(jù)題意得出BP=2BQ、CQ=2CR、AR=2AS是解此題的關鍵．