Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)A（0，9），B（24，9），C（22+3 ，0），半圓P的直徑MN=6 ，且P，A重合時(shí)，點(diǎn)M，N在AB上，過點(diǎn)C的直線l與x軸的夾角α為60°．現(xiàn)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向B運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，半圓P以每秒15°的速度繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線l以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（與x軸的交點(diǎn)為Q）．當(dāng)P、B重合時(shí)，半圓P與直線l停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

【發(fā)現(xiàn)】
（1）點(diǎn)N距x軸的最近距離為 ， 此時(shí)，PA的長為；
（2）t=9時(shí)，MN所在直線是否經(jīng)過原點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在直線l時(shí)，求直線l分半圓P所成兩部分的面積比．

（4）【拓展】如圖4，當(dāng)半圓P在直線左側(cè)，且與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（5）【探究】求出直線l與半圓P有公共點(diǎn)的時(shí)間有多長？

Answer 1

【答案】
（1）9﹣3 ；6
（2）解：MN所在直線經(jīng)過原點(diǎn)，

理由：當(dāng)t=9時(shí)，∠APN=180°﹣9×15°=45°，AP=9×1=9，

設(shè)此時(shí)直線MN交y軸于點(diǎn)D，

則AD=APtan45°=9×1=9，

又OA=9，

所以點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，即MN所在直線經(jīng)過原點(diǎn)

（3）解：如圖1，

當(dāng)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，

∴OQ=OH+QH=AP+ =t+ =3 +t，

∴CQ=t，

∵OQ+CQ=3 +t+t=OC=22+3 ，得t=11，

此時(shí)，∠APN=180°﹣11×15°=15°，

∠NPQ=180°﹣15°﹣60°=105°，

∠MPQ=180°﹣105°=75°，

∴S左：S右=105：75=7：5；

（4）解：如圖2，

設(shè)直線l與AB交于點(diǎn)E，與半圓P相切于點(diǎn)T，

則PT=3 ，PE= = =6，AE=AP+PE=t+6，

過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為F，

則OQ=OF+FQ=AE+ =（t+6）+ =6+3 +t，

CQ=t，

由OQ+CQ=6+3 +t+t=OC=22+3 ，得t=8，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，9）；

（5）解：當(dāng)半圓P在直線右側(cè)，且與直線l相切時(shí)，如圖3所示，

設(shè)直線l與AB交于點(diǎn)G，與半圓P相切于點(diǎn)R，

則PR=3 ，PG= = =6，AG=AP﹣PG=t﹣6，

過點(diǎn)G作GJ⊥x軸，垂足為J，

則OQ=OJ+JQ=AG+ =（t﹣6）+ =3 ﹣6+t，

CQ=t，

由OQ+CQ=3 ﹣6+t+t=OC=22+3 ，得t=14，

則直線l與半圓P有公共點(diǎn)的時(shí)間為14﹣8=6秒．

【解析】解：發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)PN∥y軸時(shí)，點(diǎn)N距x軸的最近，
∵A（0，9），
∴OA=9，
∵M(jìn)N=6 ，
∴PN= MN=3 ，
∴點(diǎn)N距x軸的最近距離為9﹣3 ，
此時(shí)∠APN=90°，
∴t= =6，
∴PA的長為6；
所以答案是：9﹣3 ，6；