Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB

的中點(diǎn)，連接DE．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿

BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0＜t

＜4)s．解答下列問題：

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥AB？

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形PQBCD的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的情況下，是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為

＝1∶29？若存在，求出此時(shí)t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）y（3）當(dāng)時(shí)，h

【解析】解：（1）如圖，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

 ∴。

                ∵點(diǎn)D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，

∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC，且DE=BC=4。

                ∵PQ⊥AB，∴∠PQB=∠C=90⁰。

 又∵DE∥BC，∴∠AED=∠B。

∴△PQE∽△ABC。∴。

由題意，得PE=4－t，QE=2t－5，

∴，解得。

∴當(dāng)時(shí)，PQ⊥AB。

（2）過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M。

     由△PME∽△ABC，得，

     ∴，即。

     ∴，

        。

     ∴。

（3）假設(shè)存在時(shí)刻t使＝1∶29，此時(shí)，，

     ∴，即。

     解得（舍去）。

     當(dāng)時(shí)，PM=，ME=，EQ=5－2×2=1，

MQ=ME＋EQ=，。

∵，∴。

當(dāng)時(shí)， PQ分四邊形BCDE所成的兩部分的面積之比為＝1∶29，此時(shí)點(diǎn)E到PQ的距離h。

（1）由△PQE∽△ABC可列式求解。

（2）由△PME∽△ABC可求得，根據(jù)可求關(guān)系式。

（3）假設(shè)存在，由已知＝1∶29可得，即可求出，進(jìn)一步由求出。