Question

【題目】有三個(gè)函數(shù)，對(duì)于同一個(gè)自變量x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，若恰好有，則稱(chēng)y為的“中值函數(shù)”.

（1）若的圖像為直線，的圖像是拋物線，則它們的中值函數(shù)的圖像為（ ）

A.直線 B.拋物線 C.雙曲線 D.以上答案均錯(cuò)

（2）若、它們的中值函數(shù)為，

①若點(diǎn)P在、和它們的中值函數(shù)圖像上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.

②在如圖中，畫(huà)出上述中值函數(shù)的大致圖象.并根據(jù)圖象寫(xiě)出這個(gè)中值函數(shù)的兩條性質(zhì)；

性質(zhì)1：_______________________________；

性質(zhì)2：_______________________________；

③利用中值函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明：面積為1的長(zhǎng)方形，當(dāng)該長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬相等時(shí)，周長(zhǎng)最小.

Answer 1

【答案】（1）B；（2）①（1，2），②性質(zhì)1：當(dāng)x=1時(shí)，中值函數(shù)y的值最小為2；

性質(zhì)2：當(dāng)0<x<1時(shí)，中值函數(shù)y隨x的增大而減��；③見(jiàn)詳解

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)，則根據(jù)可判斷y的函數(shù)圖像；

（2）①根據(jù)點(diǎn)P在、和它們的中值函數(shù)圖像上，聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②根據(jù)中值函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象觀察即可得出性質(zhì)即可；③設(shè)長(zhǎng)為x，則寬為，則周長(zhǎng)，根據(jù)中值函數(shù)性質(zhì)即可求解.

解：（1）依題意設(shè)

則

∴y依然是二次函數(shù)則中值函數(shù)的圖像為拋物線

故選B；

（2）①點(diǎn)P在、和它們的中值函數(shù)圖像上

∴解得

∴

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；

②根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)函數(shù)圖象如下：

性質(zhì)1：當(dāng)x=1時(shí)，中值函數(shù)y的值最小為2；

性質(zhì)2：當(dāng)0<x<1時(shí)，中值函數(shù)y隨x的增大而減小；

（3）設(shè)長(zhǎng)為x，則寬為，則周長(zhǎng)

由中值函數(shù)的定義可知，c為的中值函數(shù)

由性質(zhì)可知，當(dāng)即時(shí)，c取得最小值

∴

∴（-1舍去）

即改長(zhǎng)方形為正方形時(shí)，周長(zhǎng)最小.