Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于點A、B（A左B右），交y軸于點C，S△ABC=6，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若∠PCB=45°，求點P的坐標；

（3）點Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，連接PC、AQ，當PC=AQ時，求點P的坐標以及△PCQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）P（2，3）；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式；

（2）先判斷出∠OBC=45°，而點P在第一象限，所以得出CP∥OB即：點P和點C的縱坐標一樣，即可確定出點P坐標；

（3）根據(jù)點P在第一象限，點Q在第二象限，且橫坐標相差1，進而設(shè)出點P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；得出點Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），得出CP2，AQ2，最后建立方程求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x+1）（x﹣3），

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），

∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，

∵S△ABC=6，

∴ABOC=6，

∴×4×|3a|=6，

∴a=﹣1或a=1（舍），

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3a），

∴C（0，3），

∴OB=3，OC=3，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO=∠OBC=45°，

∵點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，且∠PCB=45°，

∴PC∥OB，

∴P點的縱坐標為3，

由（1）知，拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，

∴x=0（舍）或x=2，

∴P（2，3）；

（3）如圖2，過點P作PD⊥x軸交CQ于D，設(shè)P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；

∵C（0，3），

∴PC2=（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2=（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，

∵點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，

∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），

∵A（﹣1，0）．

∴AQ2=（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2=（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]

∵PC=AQ，

∴81PC2=25AQ2，

∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]=25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，

∵0＜m＜1，

∴[（m﹣1）2+1]≠0，

∴81（m﹣3）2=25（m﹣5）2，

∴9（m﹣3）=±5（m﹣5），

∴m=或m=（舍），

∴P（，），Q（，﹣），

∵C（0，3），

∴直線CQ的解析式為y=﹣x+3，

∵P（，），

∴D（，﹣），

∴PD=+=，

∴S△PCQ=S△PCD+S△PQD==PD×xP+=PD×（xQ﹣xP）==PD×xQ==××=．