Question

（2012•永春縣質(zhì)檢）如圖，一次函數(shù)y=

1

2

x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）P為線段AB上的點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥OB交x軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）
的圖象于點(diǎn)Q，已知四邊形OBPQ為平行四邊形，△OQC的面積為3．
①求k的值和點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②連接OP，將△OBP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P能否落在反
比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上？請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法分別求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）①根據(jù)△OQC的面積為3，得出OC×CQ=6，即可得出k=6，再利用△QCO∽△BOA，得出QC與OC的長(zhǎng)，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
②作第一象限角的角平分線OD，交反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象于點(diǎn)D，首先得出OE²=6，以及OD²=12，進(jìn)而得出OP＞OD，即可得出答案．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

1

2

x-2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)圖象與x軸相交，y=0時(shí)，0=

1

2

x-2，解得：x=4，
當(dāng)圖象與y軸相交，x=0時(shí)，y=-2，
故A（4，0），B（0，-2）；

（2）①∵△OQC的面積為3，∴OC×CQ=6，∴k=6，
在平行四邊形OBPQ中，OB∥QP，OB=QP，OQ∥AB，
∴∠QCO=∠BOA，∠QOC=∠BAO，
∴△QCO∽△BOA，
∴

QC

OC

=

OB

OA

=

2

4

，∴OC=2QC，
∵OC×CQ=6，
∴QC=

3

OC=2

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，

3

-2），

②在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2=19-4

3

，
作第一象限角的角平分線OD，交反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象于點(diǎn)D，
則OD的長(zhǎng)是點(diǎn)O到反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上各點(diǎn)的最短距離，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，
則xy=k=OE²=6，∴OD²=12，
∴OP2-OD2=19-4

3

-12=7-4

3

＞0，
∴OP＞OD，
∴旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P′能在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出OE²=6，OP＞OD是解題關(guān)鍵．