Question

【題目】如圖1，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線段AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的是速度都為1厘米/秒．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，BQ的長為_____厘米，BP的長為______厘米.（用含t的式子表示）

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形.

（3）如圖2，連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ會(huì)變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）t，5﹣t；（2）第秒或第秒；（3）不變，∠CMQ=60°.

【解析】

（1）根據(jù)距離=速度×時(shí)間，結(jié)合圖形解答即可；（2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°兩種情況，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；（3）利用SAS證明△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ＝∠ACP，根據(jù)三角形外角性質(zhì)及等邊三角形的內(nèi)角是60°解答即可．

（1）∵點(diǎn)P、Q的速度都為1厘米/秒．

∴BQ＝t，AP＝t，

∴BP=5-t，

故答案為：t，（5﹣t）

（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t，

①如圖，當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°，

∴PB＝2BQ，得5﹣t＝2t，

解得，t＝，

②如圖，當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴∠BQP＝30°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（5﹣t），

解得，t＝，

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；

（3）∠CMQ不變，理由如下：

在△ABQ與△CAP中，，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，

∴∠CMQ不會(huì)變化．