Question

觀察下列圖形的變化過程，解答以下問題：
如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一動點（D點不與B、C兩點重合）．DE∥AC交AB于E點，DF∥AB交AC于F點．
（1）試探索AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形．為什么？

Answer 1

分析：（1）當AD平分∠EAF時，四邊形AEDF為菱形，首先由題意推出四邊形AEDF為平行四邊形，然后根據(jù)角平分線的性質和平行線的性質推出∠EAD=∠FDA，∠EAD=∠FAD，通過等量代換求出∠FAD=∠FDA，確定AF=DF后，即可推出結果；
（2）當△ABC為直角三角形，∠BAC=90°時，四邊形AEDF為正方形，首先根據(jù)（1）所推出的結論四邊形AEDF為菱形，通過正方形的判定定理（一個內角為直角的菱形為正方形），即可推出結論．

解答：解：（1）當AD平分∠EAF時，四邊形AEDF為菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF為菱形；

（2）當△ABC為直角三角形，∠BAC=90°時，四邊形AEDF為正方形，
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
∴∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠FDA，
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF為菱形，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF為正方形．

點評：本題主要考查菱形的判定定理計正方形的判定定理，平行四邊形的判定定理及性質，平行線的性質等知識點的綜合運用．（1）小題關鍵在于通過求證相等的角，確定AF=DF；（2）小題關鍵在于確定根據(jù)正方形的判定定理確定∠BAC=90°這一條件．