Question

如圖，將置于平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

（1）若的外接圓與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，試猜想過的直線與的外接圓的位置關(guān)系，并加以說明．

（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和且頂點(diǎn)在圓上，

求此函數(shù)的解析式．

 

Answer 1

解：（1）連結(jié)AD，則∠ADO＝∠B＝60⁰

在Rt△ADO中，∠ADO＝60⁰

所以O(shè)D＝OA÷＝3÷＝

F

所以D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）

（2）猜想是CD與圓相切

　　　∵　∠AOD是直角，所以AD是圓的直徑

E

又∵　Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO＝30⁰

  ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠  即CD⊥AD

　∴　CD切外接圓于點(diǎn)D

（3）依題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為 ：

y=α（x－0）(x－3)

由此得頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為：x==;

即頂點(diǎn)在OA的垂直平分線上，作OA的垂直平分線EF，則得∠EFA＝∠B＝30⁰

得到EF＝EA＝　　　可得一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

同理可得另一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

分別將兩頂點(diǎn)代入y=α（x－0）(x－3)可解得α的值分別為，

則得到二次函數(shù)的解析式是y=x(x－3)或y= x(x－3)