Question

【題目】已知拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．

當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C．

直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

如圖1，連接AC，在x軸上方的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)D，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

如圖2，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)位于第一象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作，求PQ的最大值；

如圖3，若點(diǎn)M為拋物線(xiàn)位于x軸上方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為N，直線(xiàn)MN上有一點(diǎn)H，滿(mǎn)足與互余，試判斷HN的長(zhǎng)是否變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變，請(qǐng)求出HN長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①A（-1，0），B（3，0），C（0，3）②D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）③PQ最大為（2）NH=1為定值，故不變.

【解析】

（1）①將m帶入拋物線(xiàn)解析式解得與x,y軸的交點(diǎn).

②設(shè)OC交BD于點(diǎn)E，過(guò)D點(diǎn)作x軸垂線(xiàn)交x軸F點(diǎn), 利用△EOB∽△DFB，求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在代入AC的直線(xiàn)方程即可.

③求PQ的最大值，即求△BCP面積的最大值,列出其面積最大值的二次函數(shù)配方式計(jì)算.

（2）運(yùn)用△MAN∽△BHN，得到NH的值即可.

（1）當(dāng)m=2時(shí)，為，當(dāng)x=0時(shí)，y=3

當(dāng)y=0時(shí)，x=-1或x=3.

綜上，A（-1，0），B（3，0），C（0，3）

②

設(shè)OC交BD于點(diǎn)E，過(guò)D點(diǎn)作x軸垂線(xiàn)交x軸F點(diǎn).

由①知，AB=4，OC=3

∴AC=，BD=

∵，OB=OC，∠AOC=∠EOB

∴△AOC≌△EOB（ASA）

∴OE=1

∵△EOB∽△DFB

∴

DF=，即D點(diǎn)坐標(biāo)為

帶入直線(xiàn)AC中得D點(diǎn)橫坐標(biāo)為.

故D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

③

求PQ的最大值，即求△BCP面積的最大值，過(guò)P點(diǎn)作PL∥y軸，交BC于點(diǎn)L

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），則L為（x，-x+3）

則S△BCP=·PL·3=·()= -·

∴當(dāng)x=時(shí)，S△BCP最大為.

此時(shí)PQ最大為.

（2）設(shè)N點(diǎn)為x，則AN=1+x，BN=3-x，MN=

∵與互余，∠MNA=∠BNH=90°

∴△MAN∽△BHN

∴,即

∴NH=1為定值，故不變.