Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，P（3，3），點A、B分別在x軸正半軸和y軸負半軸上，且PA＝PB．

（1）求證：PA⊥PB；

（2）若點A（9，0），則點B的坐標為　 　；

（3）當點B在y軸負半軸上運動時，求OA﹣OB的值；

（4）如圖2，若點B在y軸正半軸上運動時，直接寫出OA+OB的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）（0，﹣3）；（3）6；（4）6．

【解析】

（1）過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，根據(jù)點P的坐標可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”證明Rt△APE和Rt△BPF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根據(jù)垂直的定義證明；

（2）求出AE的長度，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE＝BF，然后求出OB，再寫出點B的坐標即可；

（3）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PE＝PF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；

（4）同（3）的思路求解即可．

（1）證明：如圖1，過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，

∵P（3，3），

∴PE＝PF＝3，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），

∴∠APE＝∠BPF，

∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，

∴PA⊥PB；

（2）解：由（1）證得，Rt△APE≌Rt△BPF，

∴PF＝PE，

∴四邊形OEPF是正方形，

∴OE＝OF＝4，

∵A（9，0），

∴OA＝9，

∴AE＝OA﹣OE＝9﹣3＝6，

∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE＝BF＝6，

∴OB＝BF﹣OF＝6﹣3＝3，

∴點B的坐標為（0，﹣3），

故答案為：（0，﹣3）；

（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE＝BF，

∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，

BF＝OB+OF＝OB+3，

∴OA﹣3＝OB+3，

∴OA﹣OB＝6；

（4）解：如圖2，過點P作PE⊥x軸于E，作PF⊥y軸于F，

同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，

∴AE＝BF，

∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣3，

BF＝OF﹣OB＝3﹣OB，

∴OA﹣3＝3﹣OB，

∴OA+OB＝6．