Question

（2012•濟寧）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過點A作⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC、BC．
（1）猜想：線段OD與BC有何數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理可以得到D是AC的中點，則OD是△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可以得到OD∥BC，CD=

1

2

BC；
（2）連接OC，設(shè)OP與⊙O交于點E，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等證．

解答：（1）猜想：OD∥BC，OD=

1

2

BC．
證明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，OD=

1

2

BC

（2）證明：連接OC，設(shè)OP與⊙O交于點E．
∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，
∴

AE

=

CE

，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，

OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，三角形的中位線定理，證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題．