Question

（2013•丹東一模）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，直線m經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)E是線段BC上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥x軸，垂足為F，交線段BC于點(diǎn)G，設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），問EG是否存在最大值？如果存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)及這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（3）若P點(diǎn)是直線BC上的一個動點(diǎn)，且S_△ABP：S_△ACP=1：2，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先表示出E，G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線EG的解析式，進(jìn)而求出最值以及E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用S_△ABP：S_△ACP=1：2，則當(dāng)P在線段BC上時，2BP=CP，當(dāng)P在射線BC上時，PC=2BP，進(jìn)而得出答案．

解答：解；（1）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，4）；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系是y=kx+z，
根據(jù)題意得出：

3k+z=0 z=3

，
解得：

k=-1 z=3

，
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系是：y=-x+3，
設(shè)E（x，-x²+2x+3），則G（x，-x+3），
∴EG=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)x=

3

2

時，EG有最大值，最大值為

9

4

，
當(dāng)x=

3

2

時，y=-x²+2x+3=-

9

4

+

3

2

×2+3=

15

4

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3

2

，

15

4

）；

（3）根據(jù)題意得出：∵S_△ABP：S_△ACP=1：2，
∴當(dāng)P在線段BC上時，2BP=CP，
∴此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，代入y=-x+3，
∴縱坐標(biāo)為：1，
此時P點(diǎn)坐標(biāo)為；（2，1）
同理可得出：當(dāng)P在射線BC上時，PC=2BP，
此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：6，則縱坐標(biāo)為：-3，
此時P點(diǎn)坐標(biāo)為；（6，-3）
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為；（2，1）或（6，-3）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)最值求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．