Question

（2013•甘井子區(qū)一模）如圖，在△MNQ中，MN=11，NQ=3

5

，cosN=

5

5

，矩形ABCD，BC=4，CD=3，點(diǎn)A與M重合，AD與MN重合．矩形ABCD沿著MQ方向平移，且平移速度為每秒5個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)A與Q重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）MQ的長(zhǎng)度是

10

；
（2）運(yùn)動(dòng)

1

秒，BC與MN重合；
（3）設(shè)矩形ABCD與△MNQ重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）過Q作QH⊥MN于H，根據(jù)cosN=

5

3

=

NH

NQ

求出NH=3，求出MH，根據(jù)勾股定理求出QH，即可求出答案；
（2）連接BD，解直角三角形求出QM∥BD，當(dāng)BC和MN重合時(shí)，B正好到D點(diǎn)，求出BD的長(zhǎng)即可；
（3）分為四種情況：①當(dāng)BC運(yùn)動(dòng)到MN上時(shí)，此時(shí)0＜t≤1，求出AK=3t，即可求出S；
②當(dāng)D到QN上時(shí)，根據(jù)△QAD∽△QMN求出QR=

24

11

，根據(jù)△QAR∽△QMH得出比例式，即可求出t=

14

11

，求出S即可；
③當(dāng)C到QN上時(shí)，證△DFC∽△HNQ求出DF=1.5，AF=2.5，根據(jù)△QAF∽△QMN得出

10-5t

10

=

2.5

11

，求出t=

17

11

，求出AF=11-

17

2

t，即可求出S；
④當(dāng)

17

11

＜t≤2時(shí)，根據(jù)△QAF∽△QMN求出AF=11-

17

2

t，過K作KP⊥AD于P，得出△KPF∽△QHN，求出PF=1.5，求出BK=AP=AF+PF=12.5-

17

2

t，根據(jù)梯形面積公式求出即可．

解答：解：（1）如圖1，過Q作QH⊥MN于H，
∵QN=3

5

，cosN=

5

3

=

NH

NQ

，
∴NH=3，
∴MH=11-3=8，
在Rt△NHQ中，由勾股定理得：QH=

(3 5 )2-32

=6，
在Rt△QMH中，由勾股定理得：MQ=

62+82

=10，
故答案為：10．

（2）連接BD，如圖1，
∵tan∠ABD=

AD

AB

=

4

3

，tan∠QMN=

QH

MH

=

6

8

=

3

4

，
∴QM∥BD，
當(dāng)BC和MN重合時(shí)，B正好到D點(diǎn)，由勾股定理得：BD=5，
5÷5=1，
即運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，BC和MN重合，
故答案為：1．

（3）分為四種情況：
①當(dāng)BC運(yùn)動(dòng)到MN上時(shí)，此時(shí)0＜t≤1，如圖2，
∵sinM=

AK

AM

=

QH

MQ

，
∴

AK

5t

=

6

10

，
∴AK=3t，
∵AD=4，
∴S=4•3t=12t；
②當(dāng)D到QN上時(shí)，此時(shí)1＜t≤

14

11

，如圖3，
∵△QAD∽△QMN，
∴

AD

MN

=

QR

QH

，
∴

4

11

=

QR

6

，
∴QR=

24

11

，
∵AD∥MN，
∴△QAR∽△QMH，
∴

AQ

QM

=

QR

QH

，
∴

10-5t

10

=

24 11

6

，
∴t=

14

11

，
即此時(shí)1＜t≤

14

11

，
S=3×4=12；
③當(dāng)C到QN上時(shí)，此時(shí)

14

11

＜t≤

17

11

，如圖4，
∵AD∥MN，
∴∠AFQ=∠N=∠DFC，
∵∠D=∠QHN=90°，
∴△DFC∽△HNQ，
∴

DF

NH

=

DC

QH

，
∴

DF

3

=

3

6

，
∴DF=1.5，
AF=4-1.5=2.5，
∵AD∥MN，
∴△QAF∽△QMN，
∴

AQ

QM

=

AF

MN

，
∴

10-5t

10

=

2.5

11

，
∴t=

17

11

，
即當(dāng)C到QN上時(shí)，t=

17

11

，
∵

AF

MN

=

QA

QM

，
∴

10-5t

10

=

AF

11

，
∴AF=11-

17

2

t，
S=

1

2

（AF+BC）×CD
=

1

2

（11-

17

2

t+4）•3，
S=-51t-90；
④當(dāng)

17

11

＜t≤2時(shí)，如圖5，
∵AD∥MN，
∴△QAF∽△QMN，
∴

AF

MN

=

AQ

QM

，
∴

10-5t

10

=

AF

11

，
∴AF=11-5.5t，
過K作KP⊥AD于P，
則△KPF∽△QHN，
∴

FP

NH

=

KP

QH

，
∴

PF

3

=

3

6

，
∴PF=1.5，
∴BK=AP=AF+PF=11-5.5t+1.5=12.5-5.5t，
∴S=

1

2

（AF+BK）•CD=

1

2

[11-5.5t+12.5-5.5t]×3，
S=-

33

2

t+25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，用了分類討論思想．