Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．
（Ⅰ）請寫出圖中一對全等的三角形    （寫出一對即可）．
（Ⅱ）有下列結(jié)論：
①BG=GC；②AG∥CF；③S_△FGC=3；④圖中與∠AGB相等的角有5個．
其中，正確結(jié)論的序號是    （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AF=AD，∠AFE=90°，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△AFE全等（或Rt△ABG和Rt△AFG全等）；
（Ⅱ）先求出DE、CE的長，從而得到EF，設(shè)BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的長，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，從而得到BG=CG，判定①正確；再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得到∠GCF=∠GFC，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，從而求出∠GCF=∠AGB，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明AG∥CF，判定②正確；先求出△CEG的面積，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出△FGC的面積為3.6，判定③錯誤；找出與∠AGB相等的角只有4個，判定④錯誤．
解答：解：（Ⅰ）∵△ADE沿AE對折至△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
[或在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；]

（Ⅱ）∵CD=3DE，正方形ABCD的邊長AB=6，
∴DE=×6=2，CE=CD-DE=6-2=4，
∴EF=DE=2，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴設(shè)FG=BG=x，
則EG=x+2，CG=BC-BG=6-x，
在Rt△CEG中，EG²=CG²+CE²，
即（x+2）²=（6-x）²+4²，
整理得，16x=48，
解得x=3，
∴CG=6-x=6-3=3，
∴BG=CG，故①正確；
∵FG=CG=3，
∴∠GCF=∠GFC，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，
∴∠GCF=∠AGB，
∴AG∥CF，故②正確；
△CEG的面積=CE•CG=×4×3=6，
∵EF=2，F(xiàn)G=3，
∴S_△FGC=×6=3.6，故③錯誤；
與∠AGB相等的角有∠AGF、∠GCF、∠GFC、∠GAD共4個，故④錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②．
故答案為：Rt△ADE≌Rt△AFE；①②．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行線的判定，以及等高的三角形的面積的比等于對應(yīng)底邊的比的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．