Question

如圖，長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連結(jié)OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′B與y軸交于點(diǎn)F，且知OA=1，AB=2．
（1）分別求出OF的長(zhǎng)度和點(diǎn)A′坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的雙曲線為：y=

k

x

（x＞0），則k=

2

；
（3）直線A′C交雙曲線y=

k

x

于點(diǎn)P，求△OBP的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）由圖形折疊的性質(zhì)可知△OAB≌△OA′B，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知OA′=OA，BA′=BA，∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，再由AB∥OC可知∠OBA=∠COB，∠COB=∠OBA′，故FB=FO，
設(shè)FB=FO=x，則A′F=2-x，在Rt△OA′F中，根據(jù)勾股定理可得出OF，A′F的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥OC于點(diǎn)E，根據(jù)S_△OA′F=

1

2

OA•A′F=

1

2

OF•A′E可得出A′E的長(zhǎng)，同理，在Rt△OA′E中根據(jù)勾股定理可得出OE的長(zhǎng)，故可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）由OA=1，AB=2可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例y=

k

x

即可求出k的值，故可得出其解析式；
（3）作直線A′C，根據(jù)OC=BA，BA′=BA可知OC=BA′，再由FB=FO可知FC=FA′，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠FA′C=∠FCA′=

180°-∠A′FC

2

，同理，∠FOB=∠FBO=

180°-∠BFO

2

，故∠A′CF=∠FOB，A′C∥OB，△OPB的邊OB上的高和△OBC的邊OB上的高相等，再根據(jù)S_△OBP=S_△OBC=

1

2

OB•OC即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵由折疊的性質(zhì)可知，△OAB≌△OA′B，
∴OA′=OA=1，BA′=BA=2，
∴∠OBA=∠OBA′，∠OA′B=∠OAB=90°，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠COB，
∴∠COB=∠OBA′，
∴FB=FO，
設(shè)FB=FO=x，則A′F=2-x，
在Rt△OA′F中，OA′²+A′F²=OF²，即1²+（2-x）²=x²，解得x=

5

4

，
∴OF=

5

4

，則A′F=

3

4

，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥OC于點(diǎn)E，
S_△OA′F=

1

2

OA•A′F=

1

2

OF•A′E=

1

2

×1×

3

4

=

1

2

×

5

4

×A′E，解得，A′E=

3

5

，
在Rt△OA′E中，OE²+A′E²=OA′²，即OE²+（

3

5

）²=1²，
解得，OE=

4

5

或OE=0（舍去），
∴A′（-

3

5

，

4

5

）；

（2）∵OA=1，AB=2，
∴B（1，2），
∴2=

k

1

，即k=2
∴反比例函數(shù)的解析式為；y=

2

x

；

（3）作直線A′C，
∵OC=BA，BA′=BA，
∴OC=BA′，
∵FB=FO，
∴FC=FA′，
∴∠FA′C=∠FCA′=

180°-∠A′FC

2

，
同理，∠FOB=∠FBO=

180°-∠BFO

2

，
∴∠A′CF=∠FOB，
∴A′C∥OB，
∴△OPB的邊OB上的高和△OBC的邊OB上的高相等，
∴S_△OBP=S_△OBC=

1

2

OB•OC=

1

2

×1×2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，圖形反折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．