Question

已知矩形紙片的長為4，寬為3，以長所在的直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建

立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），現(xiàn)將沿翻折

得到，再在邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將沿翻折，得到，使得

直線重合．

（1）若點(diǎn)落在邊上，如圖①，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求過此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)落在矩形紙片的內(nèi)部，如圖②，設(shè)當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？

（3）在（1）的情況下，過點(diǎn)三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)使是以為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)

 

Answer 1

解：（1）由題意知，均為等腰直角三角形，

可得

 

設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為則

 

 

 

 

 

 

 

過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

（2）由已知平分平分且重合，則

又

．

．

即

當(dāng)時(shí)，有最大值

（3）假設(shè)存在，分兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，由題意可知，且點(diǎn)在拋物線上，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，所求的點(diǎn)為（0，3）

②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作平行于的直線，假設(shè)直線交拋物線于另一點(diǎn)點(diǎn)，直線的方程為，將直線向上平移2個(gè)單位與直線重合，直線的方程為

由得或

又點(diǎn)

故該拋物線上存在兩點(diǎn)滿足條件．