Question

【題目】(2016·西寧中考)如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD.

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BC＝6， ，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）

【解析】試題分析：（1）連OD，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠ADO＋∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA＋∠ADO=90°，根據(jù)切線的判定即可得證；

（2）根據(jù)已知條件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性質(zhì)得到，求得CD=4，由切線長(zhǎng)定理得到BE=DE，BE⊥BC，在Rt△CBE中根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）證明：連接OD．

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠BDO．

∵∠CDA＝∠CBD，

∴∠CDA＝∠ODB．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO＋∠ODB＝90°，

∴∠ADO＋∠CDA＝90°，

即∠CDO＝90°，

∴OD⊥CD．

∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，

∴△CDA∽△CBD，

∴＝．

∵＝，BC＝6，

∴CD＝4．

∵CE，BE是⊙O的切線，

∴BE＝DE，BE⊥BC，

∴BE2＋BC2＝EC2，

即BE2＋62＝(4＋BE)2，

解得BE＝．