Question

【題目】如圖，在中，，，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線—以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿折線－以每秒3個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，、兩點(diǎn)同時出發(fā).分別過、兩點(diǎn)作于，于.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（秒）.

（1）當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時，求的值.

（2）在整個運(yùn)動過程中，求的長（用含的代數(shù)式表示）.

（3）當(dāng)與全等時，直接寫出所有滿足條件的的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）5或或6

【解析】

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時，P點(diǎn)運(yùn)動距離與A點(diǎn)運(yùn)動距離的和為AC與BC的長度和，進(jìn)而可以列出方程，解出t即可；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC上時，即時，AP=t，可得PC=6-t，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，AC+CP=t，此時CP=t-6;

(3)根據(jù)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的位置，與全等時有四種情況：①點(diǎn)P在AC上時，點(diǎn)Q在BC上，即；②當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q都在AC上時，即；③當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AC上時；④當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在點(diǎn)A處時，即.在這四種情況下將CP與CQ的用t的式子表示出來，利用與全等，可得CP=CQ，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t即可.

解：（1）由題意得:

，

∴，

∴的值為.

（2）當(dāng)時，．

當(dāng)時，．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動t秒時，與全等，有以下四種情況：

①點(diǎn)P在AC上時，點(diǎn)Q在BC上，即，如圖所示：

此時CP=6-t，CQ=8-3t，則

6-t=8-3t.

解得：t=1,

此時CQ=8-3×1=5;

②當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q都在AC上時，即，如圖所示：

此時AP=t=14-3t,解得：t=,

此時CQ=6-=；

③當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AC上時，如圖所示：

此時無滿足條件的t,

因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BC上時，，

此時點(diǎn)Q已經(jīng)與點(diǎn)A重合；

④當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在點(diǎn)A處時，即，如圖所示：

此時CQ=CA=6,CP=t-6，

則6=t-6,解得：t=12，

此時CQ=6.

綜上所述，t的值為5或或6.