Question

已知：如圖，A是半徑為2的⊙O上的一點(diǎn)，P是OA延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，設(shè)PA=m，PB=n．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，求m的值；
（2）⊙O上是否存在點(diǎn)C，使△PBC為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，⊙O上存在唯一點(diǎn)M和PB構(gòu)成以PB為底的等腰三角形？并直接答出：此時(shí)⊙O上能與PB構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)共有幾個(gè)？

Answer 1

解：（1）解法一：連接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO²=PB²+OB²，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）²=n²+2²m²+4m=n²；
n=4時(shí)，解，得：
（舍去），．
∴m的值為．
解法二：延長(zhǎng)PO交⊙O于Q，PAQ為⊙O割線．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB²=PA•PQ，
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n²=m²+4m，
當(dāng)n=4時(shí)，解得（舍去），，
∴m的值為．

（2）存在點(diǎn)C，使△PBC為等邊三角形；
當(dāng)∠OPB=30°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的另一條切線PC，C為切點(diǎn)，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC為等邊三角形；
連接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．

（3）如圖，設(shè)EF為線段PB的垂直平分線，垂足為D，當(dāng)EF與⊙O相切于點(diǎn)M時(shí)，M符合要求；
連接OB、OM，易得四邊形OMDB為正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．
由（1）得n=4時(shí)，m=，
∴當(dāng)m=時(shí)，⊙O上存在唯一點(diǎn)M和PB構(gòu)成以PB為底的等腰三角形，
此時(shí)⊙O上共有3個(gè)點(diǎn)能與PB構(gòu)成等腰三角形．
（這3點(diǎn)分別是M，M₁，M₂．其中M是PB中垂線與⊙O的切點(diǎn)，M₁是延長(zhǎng)BO與⊙O的交點(diǎn)，M₂是點(diǎn)B關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)）
分析：（1）此題可有兩種解法：①連接OB，利用勾股定理求解，②延長(zhǎng)PO交⊙O于另外一點(diǎn)，利用切割線定理求解；
（2）若△PBC是等邊三角形，則必有PB=PC，由于PB是⊙O的切線，且C在⊙O上，那么若存在符合條件的C點(diǎn)，則PC必與⊙O相切，且切點(diǎn)為C（切線長(zhǎng)定理）．若△PBC是等邊三角形，則∠BPC=60°，∠BPO=30°，可連接OB，在Rt△OBP中，通過(guò)解直角三角形即可求得AP的長(zhǎng)即m的值；
（3）若存在等腰△PBM，且以PB為底，那么M點(diǎn)必在線段PB的垂直平分線上，而⊙O上存在唯一點(diǎn)M，那么線段PB的中垂線與⊙O相切，且切點(diǎn)為M．連接OM，易證得四邊形OBDM是正方形，則BP=2BD=2OB=4，即n=4，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得OP的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到AP即m的值．
在上面已經(jīng)求得PB=4，若M能與PB構(gòu)成等腰三角形（PB不一定是底邊），可有兩種情況考慮：
①BM=PB=4，由于⊙O的半徑為2，那么過(guò)B作⊙O的直徑BM，此時(shí)M點(diǎn)就符合題意；
②PB=PM=4，此種情況與（2）題相同，此時(shí)M、C重合，即PM與⊙O相切，且切點(diǎn)為M．
由于BM=PM在上面已經(jīng)討論過(guò)，所以能與PB構(gòu)成等腰三角形的共有3點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理、等腰三角形和等邊三角形的判定、切線的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．