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        1. 如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P為下底BC上一點(不與B、精英家教網(wǎng)C重合),過P點作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
          (1)求等腰梯形的腰長;
          (2)證明:△ABP∽△PCE;
          (3)在底邊BC上是否存在一點P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求出BP的長;如果不存在,請說明理由.
          分析:(1)解:過A作AF⊥BC于F,由已知可得BF的長,再根據(jù)直角三角形中,30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AB即可;
          (2)根據(jù)∠APE=∠B,則∠APC=∠B+∠BAP,即可得出∠BAP=∠CPE,從而證明出∴△ABP∽△PCE;
          (3)結(jié)論:存在這樣的點P;由DE:EC=5:3,得CE的長,設BP=x,則PC=7-x,由△ABP∽△PCE,得AB:PC=BP:CE,代入數(shù)據(jù)得出的值,即可求出BP.
          解答:精英家教網(wǎng)(1)解:過A作AF⊥BC于F,過點D作DH⊥BC于H,
          等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
          ∴四邊形ADHF是矩形,
          ∴AF=DH,F(xiàn)H=AD,
          ∵AB=DC,
          ∴Rt△ABF≌Rt△DCH,
          ∴BF=CH,
          ∴BF=
          BC-AD
          2
          =
          7-3
          2
          =2
          …(2分)
          在Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2,
          ∴AB=4
          即等腰梯形的腰長為4…(4分)

          (2)證明:由∠APC為△ABP的外角得
          ∠APC=∠B+∠BAP,
          又∵∠APC=∠APE+∠CPE,∠B=∠APE,
          ∴∠BAP=∠CPE.…(6分)
          又由等腰梯形性質(zhì)得∠B=∠C,
          ∴△ABP∽△PCE(如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似)  …(8分)

          (3)解:存在這樣的點P…(9分)
          理由如下:
          由DE:EC=5:3,DE+CE=DC=4,得
          CE=
          3
          2
          …(10分)
          設BP=x,則PC=7-x
          由△ABP∽△PCE,得
          AB
          PC
          =
          PB
          CE
          ,即
          4
          7-x
          =
          x
          3
          2
           …(12分)
          解得x1=1,x2=6,經(jīng)檢驗,都符合題意
          故BP=1或BP=6  …(13分)
          評分說明:部分解答題有多種解法,以上各題只給出了一種解法,學生的其他解法可參照給分.
          點評:本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì),以及解分式方程,熟練掌握相似三角形的判定:如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似.
          練習冊系列答案
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          (1)求證:AB=AD;
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          3

          (1)求證:AB=AD;
          (2)求△BCD的面積.

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          (1)求∠ABC的度數(shù); 
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