Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若CD=，∠ACB=30°，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OD、BD，OD||BC,DE⊥BC，所以DE⊥OD.

(2)利用30°的特殊三角形求出DE長(zhǎng)，再利用勾股定理得到OE長(zhǎng).

試題解析：

（1）證明：連接OD、BD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∵AB=BC，

∴D為AC中點(diǎn)，

∵OA=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∵OD為半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵CD=，∠ACB=30°，

∴BC=2，

∴BD=BC=1，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C=30°，

∵BD=1，

∴AB=2BD=2，

∴OD=1，

在Rt△CDB中，由三角形面積公式得：BC×DE=BD×CD，

1×=2DE，

DE=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE==．