Question

已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．

（1）求△AED的周長；
（2）若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△A0E0D0，當(dāng)A0D0與BC重合時停止移動，設(shè)運動時間為t秒，△A0E0D0與△BDC重疊的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）如圖②，在（2）中，當(dāng)△AED停止移動后得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，B的對應(yīng)點為B1，E的對應(yīng)點為E1，設(shè)直線B1E1與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q．是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出α的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）9+3?? （2）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

（3）存在，α=75°

【解析】

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周長為：6+3+3=9+3．
（2）在△AED向右平移的過程中：
（I）當(dāng)0≤t≤1.5時，如答圖1所示，此時重疊部分為△D0NK．

∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=t，
∴S=S△D0NK=ND0•NK=t•t=t2；
（II）當(dāng)1.5＜t≤4.5時，如答圖2所示，此時重疊部分為四邊形D0E0KN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，
∴A0N=A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=（6-t）．
∴S=S四邊形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=-t2+2t-；
（III）當(dāng)4.5＜t≤6時，如答圖3所示，此時重疊部分為五邊形D0IJKN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，
∴A0N=A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=（6-t）；
易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S梯形BND0I-S△BKJ= [t+（2t-6）]• （6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=-t2+20t-42．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=．
（3）存在α，使△BPQ為等腰三角形．
理由如下：經(jīng)探究，得△BPQ∽△B1QC，
故當(dāng)△BPQ為等腰三角形時，△B1QC也為等腰三角形．
（I）當(dāng)QB=QP時（如答圖4），

則QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
即∠BCB1=30°，
∴α=30°；
（II）當(dāng)BQ=BP時，則B1Q=B1C，
若點Q在線段B1E1的延長線上時（如答圖5），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
即∠BCB1=75°，
∴α=75°．