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        1. 如圖,直線分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)A(﹣2,0),P是直線BC上的動點(diǎn).

          (1)求∠ABC的大;

          (2)求點(diǎn)P的坐標(biāo),使∠APO=30°;

          (3)在坐標(biāo)平面內(nèi),平移直線BC,試探索:當(dāng)BC在不同位置時(shí),使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是否保持不變?若不變,指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)?若改變,指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況,并簡要說明理由.

           

          【答案】

          (1)60°

          (2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,),(1,

          (3)當(dāng)BC在不同位置時(shí),點(diǎn)P的個(gè)數(shù)會發(fā)生改變,使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況有四種:1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)。理由見解析

          【解析】

          試題分析:(1)求得B、C的坐標(biāo),在直角△BOC中,利用三角函數(shù)即可求解。

          (2)取AC中點(diǎn)Q,以點(diǎn)Q為圓心,2為半徑長畫圓⊙Q,⊙Q與直線BC的兩個(gè)交點(diǎn),即為所求;

          (3)當(dāng)BC在不同位置時(shí),點(diǎn)P的個(gè)數(shù)會發(fā)生改變,使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況有四種:1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè),如答圖2所示!

          解:(1)在中,令x=0,得y=;令y=0,得x=2。

          ∴C(0,),B(2,0)!郞C=,OB=2。

          !唷螦BC=60°。

          (2)如答圖1,連接AC,

          由(1)知∠ABC=60°,∴BC=2OB=4。

          又∵AB=4,∴AB=BC。

          ∴△ABC為等邊三角形,AB=BC=AC=4。

          取AC中點(diǎn)Q,以點(diǎn)Q為圓心,2為半徑長畫圓,與直線BC交于點(diǎn)P1,P2。

          ∵QP1=2,QO=2,

          ∴點(diǎn)P1與點(diǎn)C重合,且⊙Q經(jīng)過點(diǎn)O。

          ∴P1(0,)。

          ∵QA=QO,∠CAB=60°,∴△AOQ為等邊三角形。

          ∴在⊙Q中,AO所對的圓心角∠OQA=60°。

          由圓周角定理可知,AO所對的圓周角∠APO=30°,故點(diǎn)P1、P2符合條件。

          ∵QC=QP2,∠ACB=60°,∴△P2QC為等邊三角形。∴P2C=QP=2!帱c(diǎn)P2為BC的中點(diǎn)。

          ∵B(2,0),C(0,),∴P2(1,)。

          綜上所述,符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,),(1,)。

          (3)當(dāng)BC在不同位置時(shí),點(diǎn)P的個(gè)數(shù)會發(fā)生改變,使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況有四種:1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)。如答圖2所示,

          以AO為弦,AO所對的圓心角等于60°的圓共有2個(gè),記為⊙Q,⊙Q′,點(diǎn)Q,Q′關(guān)于x軸對稱。

          ∵直線BC與⊙Q,⊙Q′的公共點(diǎn)P都滿足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°,

          ∴點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況如下:

          ①有1個(gè):直線BC與⊙Q(或⊙Q′)相切;

          ②有2個(gè):直線BC與⊙Q(或⊙Q′)相交;

          ③有3個(gè):直線BC與⊙Q(或⊙Q′)相切,同時(shí)與⊙Q(或⊙Q′)相交;直線BC過⊙Q與⊙Q′的一個(gè)交點(diǎn),同時(shí)與兩圓都相交;

          ④有4個(gè):直線BC同時(shí)與兩圓都相交,且不過兩圓的交點(diǎn)

           

          練習(xí)冊系列答案
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          A、2
          10
          B、6
          C、3
          3
          D、4+2
          2

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          10

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          A.        B.            C       D.   

           

           

           

           

           

           

           

           

           

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