Question

如圖，在直角坐標系中，以點P（1，-1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）過點A、B，且頂點C在⊙P上．
（1）求⊙P上劣弧AB的長；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在一點D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求劣弧AB的長，就要先知道劣弧AB所對的圓心角的度數(shù)．過P作AB的垂線設垂足為M，那么在Rt△PMB中，根據(jù)圓的半徑及P點的縱坐標即可求出∠BPM的度數(shù)，也就能求出∠APB的度數(shù)．然后根據(jù)弧長公式即可求出劣弧AB的長；
（2）在Rt△PMB中，根據(jù)PB即半徑的長以及PM即P點縱坐標的絕對值即可求出BM的長，也就求出了AB的值，由于A、B兩點關于直線x=1對稱，由此可確定A、B兩點的坐標．根據(jù)圓和拋物線的對稱性，C點必在直線PM上，根據(jù)P點的坐標和圓的半徑的長即可得出C點的坐標．根據(jù)求出的A、B、C三點的坐標，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質可知：當線段OC與PD互相平分時，四邊形OPCD是平行四邊形，因此D點在y軸上，且OD=PC=2，因此D點的坐標為（0，-2）然后代入拋物線的解析式中即可判斷出D是否在拋物線上．

解答：解：（1）如圖，連接PB，過P作PM⊥x軸，垂足為M，
在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，
∴∠MPB=60°，
∴∠APB=120°

AB

的長=

120°

180°

•π•2=

4π

3

；

（2）在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，則MB=MA=

3

，又OM=1，
∴A（1-

3

，0），B（1+

3

，0），
由拋物線及圓的對稱性得知點C在直線PM上，
則C（1，-3）．
點A、B、C在拋物線上，則

0=a(1+ 3 )2+b(1+ 3 )+c 0=a(1- 3 )2+b(1- 3 )+c -3=a+b+c

解之得

a=1 b=-2 c=-2

，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-2；

（3）假設存在點D，使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且PC∥OD，
又PC∥y軸，
∴點D在y軸上，
∴OD=2，即D（0，-2），
又點D（0，-2）在拋物線y=x²-2x-2上，
故存在點D（0，-2），使線段OC與PD互相平分．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、弧長計算公式、平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性強，考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．