Question

如圖，在⊙O中，弦AB∥弦CD，且分居在點(diǎn)O的兩側(cè)．已知AB=11，CD=21，⊙O的半徑R=．求：

（1）AB與CD之間的距離．
（2）若⊙I₁、⊙I₂分別為△ACD、△ABC的內(nèi)切圓，求⊙I₁、⊙I₂的半徑之比．

Answer 1

解：（1）如圖1，過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F，連接OA，OD．
∵AB∥CD，∴E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
∴EF即為所求的AB，CD的距離
∴AE=AB=，DF=CD=，
在Rt△OAE中，∵OB=，AE=，∴OE=．
在Rt△ODF中，∵OD=，DF=，∴OF=，
∴EF=OE+OF=+=12，
答：AB和CD的距離為12；

（2）∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四邊形ABCD是梯形，
∵在⊙O中，弦AB∥弦CD，
∴=，
∴AD=BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
如圖2，作等腰梯形ABCD的高AE，BF，則四邊形ABFE是矩形，F(xiàn)E=AB=11，DE=CF==5．
在△ADE中，∵∠AED=90°，
∴AD===13，
在△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC===20．
S_梯形ABCD=（AB+CD）•EF=（11+21）×12=192，
∵S_△ADC+S_△ABC=192，S_△ADC：S_△ABC=21：11，
∴S_△ADC=126，S_△ABC=66．
如圖3，連接I₁A、I₁D、I₁C，設(shè)△ACD的內(nèi)切圓半徑為r₁，
∵S_△ADC=S_△AI1D+S_△DI1C+S_△AI1C=AD•r₁+CD•r₁+CA•r₁，
∴（13+21+20）r₁=126，
∴r₁=，
同理，求出⊙I₂的半徑r₂=3，
∴⊙I₁與⊙I₂的半徑之比是：3=．
分析：（1）分別作弦AB、CD的弦心距，設(shè)垂足為E、F；由于AB∥CD，則E、O、F三點(diǎn)共線，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、DF的長(zhǎng)，連接OA、OD，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)勾股定理即可求出OE、OF的長(zhǎng)，也就求出了EF的長(zhǎng)，即弦AB、CD間的距離；
（2）先證明四邊形ABCD是等腰梯形，作等腰梯形ABCD的高AE，BF，運(yùn)用勾股定理求出AD=13，AC=20，運(yùn)用梯形的面積公式得出S_梯形ABCD=192，則S_△ADC=126，S_△ABC=66，然后由面積法分別求出⊙I₁的半徑r₁=，⊙I₂的半徑r₂=3，則⊙I₁與⊙I₂的半徑之比可求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，三角形的內(nèi)切圓，三角形、梯形的面積，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．