Question

如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=4，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE與BC的延長線相交于點(diǎn)F，且FC•FB=FE•FD．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）如果△ADE的周長與四邊形BCED的周長相等，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）首先由FC•FB=FE•FD，∠F=∠F可以證明△FCE∽△FDB，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到∠FEC=∠B，又∠AED=∠FEC，由此得到∠AED=∠B，又∠A=∠A，由此即可證明△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE的周長與四邊形BCED的周長相等可以得到△ADE∽△ACB的相似比，然后利用已知條件即可求出DE的長．

解答：（1）證明：∵FC•FB=FE•FD，
∴

FC

FD

=

AE

FB

．（1分）
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FDB．（2分）
∴∠FEC=∠B．（1分）
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠B．（1分）
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（1分）

（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AE

AB

=

ED

BC

，（1分）
∵AB=8，AC=6，BC=4，
∴

AD

6

=

AE

8

=

ED

4

．
∴

AD

3

=

AE

4

=

ED

2

．
設(shè)AD=3k，AE=4k，ED=2k．（1分）
∵AD+AE+DE=DE+BD+BC+CE，
∴AD+AE=BD+BC+CE=

1

2

（AB+BC+AC）．（1分）
∴3k+4k=

1

2

(8+4+6)，（1分）
∴k=

9

7

（1分）
∴DE=2k=

18

7

．（1分）

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題時(shí)首先利用已知比例線段證明三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)證明題目要求的三角形相似，最后利用周長比和相似比的關(guān)系解決問題．