Question

【題目】（2018鄭州模擬）如圖，拋物線過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖①，直線l的解析式為，拋物線的對稱軸與線段BC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)H，連接OP，求的面積；

（3）把圖①中的直線向下平移4個(gè)單位長度得到直線，如圖②，直線與x軸交于點(diǎn)G．點(diǎn)P是四邊形ABCO邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F．是否存在點(diǎn)P，使得以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)或或(4，6)或．

【解析】

解：(1)∵拋物線過點(diǎn)，

，

解得，

∴拋物線的解析式為；

(2)∵該拋物線的對稱軸為直線

，

，

如解圖①，延長交軸于點(diǎn)，∵直線的解析式為，

均為等腰直角三角形，

，

，

可得．

；

(3)存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為(0，4)或或(4，6)或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

[解法提示]設(shè)直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，則，

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，

(a)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖②所示，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，

設(shè)，

則，

，

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則，

，

在中，

，

若，則，解得，故此種情形不存在；

若，則

，

整理得，

即，不成立，故此種情形不存在；

若，則

，

整理得，即，解得．

；

(b)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如解圖③，此時(shí)，

若，

過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

易知為等腰直角三角形，

，

，

∴將代入，

得，

，

，

．

(c)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖④，

，

∴可求得直線的解析式為

；

聯(lián)立與，解得，．

設(shè)，

則，

，

．

與(a)同理，可求得

，

若，則，解得，故此種情形不存在；

若，則

，

整理得，即，解得，符合條件，此時(shí)；

若，

則，

整理得，即，解得，故此種情形不存在；

(d)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如解圖⑤所示．

的夾角為135°，

∴只可能是成立，

∴點(diǎn)在的平分線上．

設(shè)此角平分線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，

則，，

，

解得，

，

又，

∴直線的解析式為：

，

聯(lián)立直線與直線，

求得；

(e)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，此時(shí)，等腰三角形不存在；

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，且點(diǎn)坐標(biāo)為：．