Question

已知：如圖，△ABC中，AB=6，AC=8，M為AB上一點（M不與點A、B重合），MN∥BC交AC于點N．
（1）當(dāng)△AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍時，求AM的長；
（2）若∠A=90°，在BC上是否存在點P，使得△MNP為等腰直角三角形？若存在，請求出MN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)MN∥BC，證得△AMN∽△ABC，再由相似三角形的面積之比等于相似比的平方，求得AM的長；
（2）由∠A=90°，AB=6，AC=8，可得出BC和BC邊上的高，再分三種情況：①當(dāng)MN是腰，∠PMN=90°時；②當(dāng)MN是腰，∠MNP=90°時；③當(dāng)MN是底，∠MPN=90°時，分別求得MN的長即可．

解答：解：（1）∵M(jìn)N∥BC
∴△AMN∽△ABC（1分）∴

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2
∵△AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍，
∴

S△AMN

S△ABC

=

2

3

，
∴(

AM

AB

)2=

2

3

，
∴

AM

AB

=

6

3

．（2分）
又∵AB=6，
∴AM=

6

3

AB=2

6

．（3分）

（2）∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=

AB2+AC2

=10，
BC邊上的高AD=

AB?AC

BC

=

24

5

．（4分）
①當(dāng)MN是腰，∠PMN=90°時（如圖1），設(shè)MP=MN=x，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

x

10

=

24 5 -x

24 5

，
解得x=

120

37

，即MN=

120

37

；（5分）
②當(dāng)MN是腰，∠MNP=90°時（如圖2）
同理可得MN=

120

37

；（6分）
③當(dāng)MN是底，∠MPN=90°時（如圖3），設(shè)MN=x
過點P作PQ⊥MN于Q，
∵PM=PN，
∴PQ=

1

2

MN=

1

2

x．
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

x

10

=

24 5 - 1 2 x

24 5

，
解得x=

240

49

，即MN=

240

49

．（7分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，特別注意第三問要用到分類討論思想．