Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，E是BC的中點，AE交BC于點D，DF⊥AB于F，F(xiàn)為垂足，連接CF．
（1）判斷△CDF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AC=8，cos∠CAB=

4

5

，求線段BC和CD的長．

Answer 1

分析：（1）易得∠CAE=∠BAE，∠ACB=∠DFC=90°，再加上公共邊，可證得△CDA≌△FDA，即證CD=DF．
（2）利用cos∠CAB的值可求得BC長，設(shè)出CD=DF=x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到CD的長．

解答：解：（1）等腰三角形．
∵E是BC的中點，
∴∠CAE=∠BAE．
∵AB是半圓O的直徑，DF⊥AB于F，
∴∠ACB=∠DFA=90．
又∵AD=AD，
∴△CDA≌△FDA．
∴CD=DF．

（2）∵AC=8，cos∠CAB=

4

5

，
∴BC=6．
根據(jù)勾股定理得：AB=10，
∵△CDA≌△FDA．
∴AC=AF=8，
∴FB=2，
設(shè)CD=DF=x，則BD=BC-CD=6-x，
根據(jù)勾股定理得：x²+2²=（6-x）²，
解得：x=

8

3

∴CD=

8

3

．

點評：本題考查了同弧所對的圓周角相等，直角三角形的三角函數(shù)，以及角平分線所截得的線段的對于比等知識點．