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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標系中,經(jīng)過原點的拋物線y=-x2+4mx(m>0)與x軸的另一個交點為點A,過點P(1,m)作直線PB⊥x軸,交拋物線于點B,作點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點C(點B、C不重合),連結(jié)BC,當(dāng)點P、B不重合時,以BP、BC為邊作矩形PBCQ,設(shè)矩形PBCQ的周長為l.

          (1)當(dāng)m=1時,求點A的坐標.

          (2)當(dāng)BC=時,求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式.

          (3)當(dāng)點P在點B下方時,求l與m之間的函數(shù)關(guān)系.

          (4)連結(jié)CP,以CP為直角邊作等腰直角三角形PCM,直接寫出點M落在坐標軸上時m的值.

          【答案】(1) (4,0);(2) y=-x2+xy=-x2+x.(3)l=-2m+2.(4)m=,m=

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得答案;

          (2)根據(jù)BC的長,可得關(guān)于m的方程,根據(jù)解方程,可得m的值;

          (3)根據(jù)周長公式,可得答案;

          (4)利用直線PC的斜率求出直線PE的斜率,并求出直線PE的參數(shù)方程,討論點E在x軸與y軸的情況,并分別求出點E的參數(shù)坐標,根據(jù)PC=PE,利用兩點間距離公式求解.此題也可用開鎖法進行求解.

          試題解析:(1)當(dāng)m=1時,拋物線的解析式為y=-x2+4x.

          當(dāng)y=0時,-x2+4x=0,解得x1=0,x2=4,即A點坐標為(4,0);

          (2)當(dāng)y=-x2+4mx中x=1時,y=4m-1,B(1,4m-1).且拋物線的對稱軸為x=-=2m.

          當(dāng)點B在對稱軸左側(cè)時,即m>時,BC=2(2m-1)=4m-2.

          當(dāng)BC=時,4m-2=.m=,這條拋物線的解析式為y=-x2+x.

          當(dāng)BC=時,2-4m=.m=,這條拋物線的解析式為y=-x2+x.

          (3)當(dāng)點B在對稱軸左側(cè),同時點P在點B的下方,即<m<時,

          l=2[2(1-2m)+(4m-1-m)],l=-2m+2.

          (4)分三種情況:P在對稱軸左側(cè),P(1,m),B(1,4m-1),C(4m-1,4m-1),

          BC=4m-2,BP=3m-1,

          ①若∠CPQ=90°,PC=PQ,如圖1,

          此時,△CBP≌△PFQ,

          ∴CB=PF,即4m-2=m,解得m=,

          ②若∠PCQ=90°,CP=CQ,如圖2,

          此時,△QFP≌△CDQ,

          ∴DF=CD,即4m-1=4m-1,方程無解;

          ∴此種情況不成立.

          ③如圖3,

          B(1,4m-1),P(1,m),C(4m-1,4m-1),

          若∠CPQ=90°,PC=PQ,△CBP≌△QFC,

          BP=CF,即3m-1=4m-1,解得m=0(舍),

          ④如圖4,

          ∠CQP=90°,CQ=CP,

          △CBP≌△PFQ,

          BP=QF,即4m-1-m=1,解得m=

          ⑤如圖5,

          ∠CQP=90°,CQ=CP,

          △CBP≌△PFQ,

          BC=PF,即2-4m=m,解得m=;

          綜上所述:m=,m=

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